[논문 리뷰] Some Brouwerian Counterexamples Regarding Nominal Sets in Constructive Set Theory

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 06.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 체계적 집합론에서 브라우어 반례를 제시하여, 명시적 집합 이론에서 최소 유한 지지의 존재가 체계적으로 정당화될 수 없음을 보여준다. 최소 유한 지지를 가정하면 비구성적 원리인 WLPO에 이르게 되며, 이는 체계적 추론에서 이러한 가정을 피해야 한다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

The existence of least finite support is used throughout the subject of nominal sets. In this paper we give some Brouwerian counterexamples showing that constructively, least finite support does not always exist and in fact can be quite badly behaved. On this basis we reinforce the point that when working constructively with nominal sets the use of least finite support should be avoided. Moreover our examples suggest that this problem can't be fixed by requiring nominal sets to have least finite support by definition or by using the notion of subfinite instead of finite.

연구 동기 및 목표

• 명시적 집합 이론에서 명시적 집합이 항상 최소 유한 지지를 갖는다는 가정을 도전하기 위해.
• 최소 유한 지지를 가정할 경우 WLPO와 같은 비구성적 원리에 이르게 된다는 것을 보여주기 위해.
• 체계적 수학에서 명시적 집합 이론에서 최소 유한 지지의 사용을 피해야 한다는 것을 주장하기 위해.
• 최소 지지의 비구성적 행동으로 인해 발생하는 기초 문제들이 조건부 유한 지지로도 해결되지 않는다는 것을 보여주기 위해.
• 명시적 집합의 구성이 체계적 프레임워크에서 비구성적 결과를 피하기 위해 재평가되어야 한다는 아이디어를 강화하기 위해.

제안 방법

• 이중 수열 α와 이름 a를 사용하여 명시적 집합을 구성하고, ∀n∈ℕ.α(n)=0의 진리에 관련된 지지 성질을 갖는 원소 αₐ를 정의한다.
• L = {x∈{a} | ¬(∀n∈ℕ)α(n)=0}로 정의하여 αₐ의 모든 유한 지지의 교차를 나타내며, 이 교차가 모든 유한 지지의 교차임을 보여준다.
• 이중 부정 추론을 사용하여, L이 유한하고 결정 가능하다면 WLPO, 즉 비구성적 원리가 도출된다는 것을 보여준다.
• 논리적 보조정리 3.4를 적용하여, 모든 유한 지지의 교차가 지지가 되면, 모든 유계 공식 ϕ에 대해 ¬¬ϕ→ϕ가 성립하며, 이는 제한된 배타적 중복(REM)을 의미한다.
• 조건부 유한 지지의 행동을 분석하고, 조건부 유한성 하에서도 동일한 비구성적 결과가 발생함을 보여준다.
• 실현 가능성과 모델 이론적 추론을 사용하여, WLPO가 CZF에서 증명 불가능함을 보여주며, 최소 유한 지지의 비구성적 성격을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적 집합 이론에서 최소 유한 지지의 존재는 체계적으로 정당화될 수 있는가?
• RQ2 모든 명시적 집합 원소가 최소 유한 지지를 갖는다는 가정의 논리적 결과는 무엇인가?
• RQ3 유한 지대신 조건부 유한 지지를 요구하면 최소 유한 지지로 인한 비구성적 문제들이 해결되는가?
• RQ4 최소 유한 지지의 가정이 WLPO나 REM과 같은 비구성적 원리로 이르는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 원소의 모든 유한 지지의 교차가 지지가 되지만 더 강력한 비구성적 원리들을 암시하지 않는가?

주요 결과

• 명시적 집합의 원소에 대한 모든 유한 지지의 교차는 반드시 유한 지지가 되는 것은 아니며, 이는 체계적으로 실패할 수 있다.
• 만약 모든 유한 지지의 교차가 항상 지지라면, 모든 유계 공식 ϕ에 대해 ¬¬ϕ→ϕ가 성립하게 되며, 이는 제한된 배타적 중복(REM)을 의미한다.
• 모든 원소가 최소 유한 지지를 갖는다는 가정은 WLPO를 암시하며, 이는 체계적 집합론(CZF)에서 증명 불가능한 원리이다.
• 조금 유한 지지로 제한하더라도 동일한 비구성적 결과가 발생하므로, 조건부 유한성이 문제를 해결하지 못한다.
• L = {x∈{a} | ¬(∀n∈ℕ)α(n)=0}는 αₐ의 모든 유한 지지의 교차와 같으며, L이 유한하다면 WLPO가 도출된다.
• 최소 유한 지지의 체계적 존재 실패는 체계적 프레임워크에서 명시적 집합 이론의 기초 가정을 뒤흔든다.