[논문 리뷰] Some Classical and Recent Results Concerning Renorming Theory

Amanollah Assadi, Hadi Haghshenas|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 20.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 바람직한 기하학적 및 미분 가능성 성질을 갖는 동치 노름에 초점을 맞춰 고전적이고 최근의 결과들을 종합적으로 조망한다. 노름의 재노름화를 통한 근본적인 특성화, 즉 극도성, 가산성, 미분 가능성의 성질을 수립하며, 바나흐 공간의 다양한 구조적 가정 하에 프레셰, 균일하게 가우스, 엄밀히 볼록 노름의 존재에 관한 열린 문제를 제기한다.

ABSTRACT

The problems connected with equivalent norms lie at the heart of Banach space theory. This is a short survey on some recent as well as classical results and open problems in renormings of Banach spaces.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 및 미분 가능성 성질이 향상된 동치 노름에 관한 기초적이고 최근의 결과들을 조망하는 것.
• 프레셰, 가우스, 균일하게 가우스 노름의 미분 가능성과 극도성, 가산성 등의 구조적 성질 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 바나흐 공간의 다양한 가정 하에 특정한 미분 가능성 또는 볼록성 성질을 갖는 동치 노름의 존재에 관한 열린 문제를 규명하는 것.
• 노름 재정의를 통한 극도성, 아스플룬드 공간, 약하게 컴act하게 생성된 공간의 알려진 특성화를 종합적으로 개괄하는 것.
• 17개의 열린 문제를 제시함으로써 프레셰, LUR, SSD, 엄밀히 볼록 노름의 존재에 관한 다양한 조건 하에서의 연구를 자극하는 것.

제안 방법

• S̆mulyan의 이중성 정리를 활용하여 쌍대 공간 내의 함수들의 수렴을 통해 프레셰 미분 가능성의 특성화를 수행한다.
• Bishop-Phelps 정리를 적용하여 노름을 도달하는 함수들이 쌍대 공간 내에서 노름으로 조밀하다는 것을 보이며, 이는 미분 가능성과 가산성 간의 연결 고리를 제공한다.
• 기본적인 이중직교 체계의 개념을 활용하여 미적분적 성질이 우수한 동치 노름을 구성한다. 예를 들어, 메트릭 근사성 성질(MIP)을 갖는 노름을 생성한다.
• 2-회전성과 약한 2-회전성을 적용하여 수열의 노름 수렴을 통해 극도성과 가수성의 특성화를 수행한다.
• 확장 기법을 사용하여 부분공간에서의 동치 노름을 구성하고 전체 공간으로의 확장을 고려한다.
• Radon-Nikodým 성질, 아스플룬드 공간의 구조, 약하게 컴팩트하게 생성된(WCG) 공간 성질이 동치의 미분 가능 노름 존재성에 미치는 영향을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐 공간이 Radon-Nikodým 성질을 갖는다면, 그 공간은 균일하게 케이드-케일리 노름, 엄밀히 볼록 노름, 또는 LUR 노름을 동치로 갖는가?
• RQ2 모든 아스플룬드 공간은 동치의 강한 부분미분 가능(Strongly Subdifferentiable, SSD) 노름을 갖는가?
• RQ3 바나흐 공간이 가우스 미분 가능 노름과 SSD 노름을 동시에 갖는다면, 반드시 프레셰 미분 가능 노름을 갖는가?
• RQ4 비가산적이면서 아스플룬드가 아닌 공간에 대해, 원점 외에는 어디서도 SSD가 아닌 동치 노름이 존재하는가?
• RQ5 가산적인 바나흐 공간의 노름이 모든 무한차원 부분공간에서 프레셰 미분 가능하다면, 그 쌍대 공간은 반드시 가수성인가?

주요 결과

• 모든 가수성 바나흐 공간은 S̆mulyan의 정리와 구성에 의해 균일하게 가우스 미분 가능 노름을 갖는다.
• 프레셰 미분 가능 노름을 갖는 가수성 바나흐 공간의 쌍대 공간은 가수성임이 Kadec-Restrepo 정리에 의해 입증된다.
• 쌍대 노름이 프레셰 미분 가능하다면, 그 공간은 극도성임이 S̆mulyan의 특성화와 James의 정리로부터 도출된다.
• 기본적인 이중직교 체계를 갖는 바나흐 공간은 LUR 점의 조밀한 집합을 갖는 동치 노름을 갖는다. 이는 메트릭 근사성 성질(MIP)을 갖는 노름의 존재를 의미한다.
• 프레셰 미분 가능 노름을 갖는 모든 가수성 바나흐 공간은 공간과 그 쌍대 공간 모두에서 프레셰 미분 가능 노름을 갖도록 재노름화할 수 있다.
• 가수성 공간에서 가우스 미분 가능 노름의 존재는 노름을 도달하는 함수들의 집합이 쌍대 공간 내에서 노름으로 조밀하다는 것을 의미하며, 추가 조건 하에 쌍대 공간의 가수성이 유도된다.