[논문 리뷰] Some Closure Results for Polynomial Factorization and Applications.

Chi-Ning Chou, Mrinal Kumar외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 소수의 깊이를 가진 산술 회로로 계산된 저차수 다항식의 인수들 역시 낮은 깊이의 회로를 가짐을 증명하여, 저차수의 경우 VP의 인수에 대한 닫힘 성질을 입증하고 VNP의 인수에 대한 닫힘 성질을 확인한다. 이는 초다항식 하한선과 하위다항식 결정적 PIT 알고리즘 간의 연결을 통해 다항식 항등성 테스트에 대한 새로운 경계선을 제공한다.

ABSTRACT

In a sequence of seminal results in the 80's, Kaltofen showed that the complexity class VP is closed under taking factors. A natural question in this context is to understand if other natural classes of multivariate polynomials, for instance, arithmetic formulas, algebraic branching programs, depth arithmetic circuits or the class VNP, are closed under taking factors. In this paper, we show that all factors of at most $\log^a n$ of polynomials with poly(n) size depth $k$ circuits have poly(n) size circuits of depth at most $O(k + a)$. This partially answers a question of Shpilka-Yehudayoff and has applications to hardness-randomness tradeoffs for depth arithmetic circuits. More precisely, this shows that a superpolynomial lower bound for depth arithmetic circuits, for a family of explicit polynomials of poly$(\log n)$ implies deterministic sub-exponential time algorithms for polynomial identity testing (PIT) for depth arithmetic circuits. This is incomparable to a beautiful result of Dvir et al., where they showed that super-polynomial lower bounds for constant depth arithmetic circuits for any explicit family of polynomials (of potentially high degree) implies sub-exponential time deterministic PIT for depth circuits of individual degree. Thus, we remove the bounded individual degree condition in [DSY09] at the cost of strengthening the hardness assumption to hold for polynomials of low degree. As direct applications of our techniques, we also show that the complexity class VNP is closed under taking factors, thereby confirming a conjecture of Burgisser and get an alternate proof of the fact (first shown by Dutta et al.) that if a polynomial $Q$ of at most $d$ divides a polynomial $P$ computable by a formula of size $s$, then $Q$ has a formula of size at most poly$(s, d^{\log d}, deg(P))$.

연구 동기 및 목표

• VNP와 깊이 제한된 회로와 같은 복잡도 클래스가 다항식의 인수를 취할 때에도 닫혀 있는지 조사하는 것.
• 저차수 다항식에 대한 초다항식 하한선이 깊이 회로에 대한 하위다항식 결정적 PIT 알고리즘을 유도할 수 있는지 확인하는 것.
• Burgisser가 제기한 VNP의 인수에 대한 닫힘 성질에 대한 추측을 해결하는 것.
• 공식으로 계산 가능한 다항식의 인수에 대한 공식 크기 경계를 다시 증명하는 것.

제안 방법

• 소수의 깊이를 가진 회로와 제한된 개별 차수를 가진 다항식의 인수의 구조를 분석한다.
• 회로 복잡도 기법을 적용하여 깊이-k 회로에 속한 다항식의 인수의 깊이와 크기를 제한한다.
• 귀납법과 복합 논증을 사용하여 차수 최대 log^a n인 인수들이 낮은 회로 복잡도를 유도함을 보인다.
• 경계선-확률적 상호관계를 통해 회로 하한선과 PIT의 결정론적 근사화 간의 연결 고리를 설정한다.
• 기존의 공식 크기 경계 결과를 활용하여 공식에 속한 인수에 대한 새로운 경계를 유도한다.
• 특히 Dvir 등과의 이전 연구를 비교하여, 더 강한 경계선 가정을 감수하면서도 개별 차수 제한 조건을 제거함으로써 성과를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Burgisser가 추측한 바와 같이, 복잡도 클래스 VNP는 다항식의 인수를 취할 때에도 닫혀 있는가?
• RQ2 저차수 다항식에 대한 초다항식 하한선이 깊이 회로에 대한 하위다항식 결정적 PIT 알고리즘을 유도할 수 있는가?
• RQ3 소수의 깊이를 가진 회로로 계산 가능한 다항식의 인수들 역시 낮은 깊이의 회로 표현을 가질 수 있는가?
• RQ4 인수의 크기와 깊이가 원래 다항식의 회로 크기와 깊이와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 새로운 회로 복잡도 기법을 사용하여 다항식 인수의 공식 크기 경계를 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 다항식 크기가 poly(n)인 깊이-k 회로로 계산 가능한 다항식의 차수 최대 log^a n인 인수들은 깊이 최대 O(k + a)인 poly(n) 크기의 회로를 가진다.
• 복잡도 클래스 VNP는 인수를 취할 때에도 닫혀 있으며, Burgisser의 추측을 확인한다.
• 명시적인 저차수 다항식에 대해 깊이-k 회로에서 초다항식 하한선이 존재하면, 깊이-k 회로에서 PIT에 대한 결정론적 하위다항식 시간 알고리즘이 유도된다.
• 논문은 공식으로 계산 가능한 다항식의 인수에 대한 공식 크기 경계를 재증명하며, 이러한 인수의 크기가 최대 poly(s, d^{log d}, deg(P)))임을 보인다.
• 이전 연구보다 더 강한 경계선 가정을 감수하면서도, 경계선-확률적 상호관계에서 개별 차수 제한 조건을 제거함으로써 성과를 향상시켰다.
• 이러한 발견들은 산술 회로의 맥락에서 회로 하한선과 결정론적 근사화 간의 새로운 연결 고리를 확립한다.