[논문 리뷰] Some Cobweb Posets Digraphs' Elementary Properties and Questions

A. K. Kwaniewski|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 23.

Advanced Graph Theory Research인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 코브웹 포스테트의 이론을 확장하여, 페로르스 차원 1 이분 그래프의 자연스러운 합성으로 만들어진 자연스럽게 단조 내림차순인 방향성 비순환 그래프(KoDAG)로서의 확장 코브웹 포스테트를 도입한다. 다항계수와 제2종 스타링 수를 사용하여 완전한 코브웹 포스테트와 k-항 관계의 수를 세는 조합 수식을 유도하며, 순서 있는 분할과 전사 함수의 수에 대한 핵심 결과를 제시한다.

ABSTRACT

A digraph that represents reasonably a scheduling problem should be a directed acyclic graph. Here down we shall deal with special kind of graded $DAGs$ named $KoDAGs$. For their definition and first primary properties see $ [1]$, where natural join of directed biparted graphs and their corresponding adjacency matrices is defined and then applied to investigate cobweb posets and their $Hasse$ digraphs called $KoDAGs$. In this report we extend the notion of cobweb poset while delivering some elementary consequences of the description and observations established in $[1]$.

연구 동기 및 목표

• 기존 프레임워크를 초월하여 자연스럽게 단조 내림차순인 KoDAG로서의 확장 코브웹 포스테트를 도입함으로써 코브웹 포스테트를 일반화하기.
• 이분 구조의 레비 그래프 수열에 자연스러운 합성 연산의 적용 가능성을 조사하기.
• 레벨 크기와 분할에 기반한 완전한 코브웹 포스테트와 k-항 관계의 수를 세는 조합 수식 유도하기.
• 정점 집합의 순서 있는 분할에 의해 정의된 부분 순서를 가진 단조 내림차순 포스테트의 구조와 수를 탐색하기.
• 크기가 N인 k-레벨 코브웹 포스테트에 대응하는 전사 함수와 순서 있는 분할의 수를 결정하기.

제안 방법

• 확장 코브웹 포스테트를 페로르스 차원 1 이분 방향 그래프(이중 클리크) $\stackrel{\rightarrow}{K_{k,k+1}}$의 자연스러운 합성으로 정의한다.
• 하위방향그래프의 인접행렬에 자연스러운 합성 연산 $\oplus\!\to$를 적용하여 전체 KoDAG 인접행렬을 구성한다.
• 이분 방향그래프의 경우, $B$가 부울 행렬이고 $A = \begin{pmatrix} 0 & B \\ B^T & 0 \end{pmatrix}$가 되는 이중접근행렬 표현을 사용한다.
• 크로네커 곱과 행렬 기하급수를 사용하여 제타 행렬을 $\zeta = (1 - \mathbf{A}_F)^{-1\copyright}$로 모델링한다.
• 크기 $N$을 $k$개의 블록으로 크기 $f_r$로 나누는 순서 있는 분할의 수를 세기 위해 다항계수 $\binom{N}{f_1, f_2, ..., f_k}$를 사용한다.
• 제2종 스타링 수 $\left\{N \atop k\right\}$와 전사 함수와의 관계를 적용하여 k-레벨 코브웹 포스테트를 수세기 위해 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코브웹 포스테트에 사용된 자연스러운 합성 연산을 이분 구조의 레비 그래프 수열에 확장할 수 있는가?
• RQ2 크기 $N = \sum f_r$인 유형 $\langle f_1, f_2, ..., f_k \rangle$의 완전한 코브웹 포스테트의 수는 얼마인가?
• RQ3 크기 $|V| = N$이고 $|V_r| = f_r$인 k-레벨 단조 내림차순 포스테트 $P_N = \langle V, \leq \rangle$의 수는 얼마인가?
• RQ4 크기 $N$인 집합 위에서 유형 $\langle f_1, ..., f_k \rangle$의 k-항 관계의 총 수는 얼마인가?
• RQ5 크기 $N$인 모든 유형 $\langle f_1, ..., f_k \rangle$에 대해 $k = 1, ..., N$인 모든 단조 내림차순 포스테트 $P_N$의 총 수는 얼마인가?

주요 결과

• 유형 $\langle f_1, f_2, ..., f_k \rangle$의 완전한 코브웹 포스테트의 수는 다항계수 $\binom{N}{f_1, f_2, ..., f_k}$와 같다.
• 크기 $N$인 k-레벨 완전한 코브웹 포스테트의 수는 $k! \left\{N \atop k\right\}$이며, 이는 N-원소 집합에서 k-원소 집합으로의 전사 함수의 수와 같다.
• 크기 $N$인 완전한 코브웹 포스테트의 총 수는 $T_N = \sum_{k=1}^N k! \left\{N \atop k\right\}$이며, 이는 N-원소 집합의 순서 있는 분할의 수와 같다.
• 유형 $\langle f_1, ..., f_k \rangle$의 k-항 관계의 수는 $2^{f_1 f_2 \cdots f_k} - 1$이며, 이는 레벨 집합들의 카르테시안 곱의 공집합이 아닌 모든 부분집합을 나타낸다.
• 크기 $N$인 모든 유형에 대해 k-항 관계의 총 수는 $\sum_{\substack{f_1+\cdots+f_k=N \\ f_r > 0}} \left(2^{f_1 f_2 \cdots f_k} - 1\right)$이다.
• F-기반 코브웹 포스테트의 제타 행렬은 기하급수 $\zeta = (1 - \mathbf{A}_F)^{-1\copyright}$로 주어지며, 여기서 $\mathbf{A}_F$는 하스레 행렬이다.