[논문 리뷰] Some consequences of a recursive number-theoretic relation that is not the standard interpretation of any of its formal representations

Bhupinder Singh Anand|ArXiv.org|2002. 10. 05.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 고델의 형식적 체계 P에서 표준 해석을 갖지 않는 재귀적 수론적 관계를 조사하며, 이러한 관계가 표준 체계적 집합론에서 수학적 대상으로 일관적으로 형식화될 수 없음을 보여준다. 주요 기여는 고전적 일관성, 표현 가능성, 계산 가능성의 개념이 구조적 재구성 필요성을 드러내며, 고전적 튜링 계산 가능성 이외의 효과적으로 계산 가능한 함수를 수용하는 수정된 추측 카르다인의 논리에 기반한 새로운 형태의 추측 카르다인을 제시한다.

ABSTRACT

We give a precise definition of a formal mathematical object as any symbol for an individual constant, predicate letter, or a function letter that can be introduced through definition into a formal mathematical language without inviting inconsistency. We then show: there is an elementary, recursive, number-theoretic relation that is not a formal mathematical object, since it is not the standard interpretation of any of its representations in Goedel's formal system P; the range of a recursive number-theoretic function does not always define a (recursively enumerable set) formal mathematical object consistently in any Axiomatic Set Theory that models P; there is no P-formula, Con(P), whose standard interpretation is unambiguously equivalent to Goedel's number-theoretic definition of "P is consistent"; every recursive number-theoretic function is not strongly representable in P; Tarski's definitions of "satisfiability" and "truth" can be made constructive, and intuitionistically unobjectionable, by reformulating Church's Thesis constructively; the classical definition of Turing machines can be extended to include self-terminating, converging, and oscillating routines; a constructive Church's Thesis implies, firstly, that every partial recursive number-theoretic function can be constructively extended as a unique total function, and, secondly, that we can define effectively computable functions that are not classically Turing-computable; Turing's and Cantor's diagonal arguments do not necessarily define Cauchy sequences.

연구 동기 및 목표

• 형식 언어에 일관성 있게 삽입될 수 있는 기호로서 형식적 수학적 대상을 정의한다.
• 고델의 체계 P에서 어떤 공식적 표현의 표준 해석도 되지 않는 특정한 재귀적 수론적 관계의 함의를 분석한다.
• 형식 체계에서의 고전적 해석인 일관성, 표현 가능성, 계산 가능성의 개념을 도전한다.
• 비구조적 가정을 피하기 위해 토르스키의 진리 및 만족의 정의를 구조적으로 재구성한다.
• 기본적인 튜링 기계 모델을 비종료, 수렴, 진동하는 계산 행동을 포함하도록 확장한다.

제안 방법

• 형식 언어에 일관되게 추가될 수 있는 기호(상수, 술어, 함수)로서 형식적 수학적 대상의 정확한 정의를 제시한다.
• 고델의 체계 P에서 어떤 공식적 표현의 표준 해석도 되지 않는 특정한 재귀적 수론적 관계를 분석한다.
• 구조적 재구성된 추측 카르다인을 적용하여 계산 가능성의 개념을 재정의함으로써, 고전적 튜링 계산 가능성이 아닌 효과적으로 계산 가능한 함수를 허용한다.
• 기본 튜링 기계 모델을 비종료, 수렴, 진동하는 계산 행동을 포함하도록 확장한다.
• 비구조적 의존성을 피하기 위해 구조적 프레임워크를 사용하여 토르스키의 만족 및 진리 개념을 재해석한다.
• 형식적 표현과 일관성의 한계를 검토하기 위해 고델의 형식적 체계 P를 기초 프레임워크로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고델의 체계 P에서 어떤 공식적 표현의 표준 해석도 되지 않는 재귀적 수론적 관계가 존재할 수 있는가?
• RQ2 표준 해석이 고델의 수론적 정의 'P는 일관하다'와 명확하게 동치인 P의 공식 Con(P)이 존재하는가?
• RQ3 수정된 추측 카르다인 하에서 모든 부분 재귀 함수가 구조적으로 전체 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ4 구조적 계산 가능성의 해석 하에서 고전적 튜링 계산 가능성이 아닌 효과적으로 계산 가능한 함수가 존재하는가?
• RQ5 구조적 프레임워크에서 튜링과 칸토어의 대각선 논법은 반드시 코시 수열을 정의하는가?

주요 결과

• 고델의 체계 P에서 어떤 공식적 표현의 표준 해석도 되지 않는 재귀적 수론적 관계가 존재한다.
• 재귀적 수론적 함수의 범위는 어떤 일관된 공리적 집합론 모델에서도 항상 재귀적으로 열거 가능한 집합으로서의 형식적 수학적 대상으로 정의되지 않는다.
• 표준 해석이 고델의 수론적 정의 'P는 일관하다'와 명확하게 동치인 P의 공식 Con(P)은 존재하지 않는다.
• 표준 해석 하에서 모든 재귀적 수론적 함수가 P에서 강하게 표현 가능하지는 않다.
• 추측 카르다인을 구조적으로 재구성함으로써 토르스키의 만족 및 진리 정의는 구조적으로 재구성 가능하며, 직관주의적으로 문제될 여지가 없다.
• 구조적 추측 카르다인은 모든 부분 재귀 함수가 고유하게 전체 함수로 확장될 수 있으며, 고전적 튜링 계산 가능성이 아닌 효과적으로 계산 가능한 함수가 존재함을 암시한다.