[논문 리뷰] Some counterexamples in dynamics of rational semigroups

Rich Stankewitz, Toshiyuki Sugawa외 1명|ArXiv.org|2007. 08. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 9인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유리 함수의 반군 다이나믹스에서 세 가지 추측에 대한 명시적 반례를 구성한다. 두 유리 함수의 근본적으로 다를 수 있는 코히어런트 셋을 가진 반군의 완전히 불변 셋 $ E(G) $ 가 닫힌 선분일 수 있음을 보여주며, 이는 $ E(G) $ 가 반드시 단순 폐곡선이거나 $ J(G) = E(G) $ 이면 거의 아벨 성질을 가져야 한다는 추측을 반박한다. 예시는 핵심 추측들이 예외적인 경우를 허용하도록 다듬어져야 한다는 점을 시사한다.

ABSTRACT

We give an example of two rational functions with non-equal Julia sets that generate a rational semigroup whose completely invariant Julia set is a closed line segment. We also give an example of polynomials with unequal Julia sets that generate a non nearly Abelian polynomial semigroup with the property that the Julia set of one generator is equal to the Julia set of the semigroup. These examples show that certain conjectures in the field of dynamics of rational semigroups do not hold as stated and therefore require the allowance of certain exceptional cases.

연구 동기 및 목표

• 유리 반군 다이나믹스에서 완전히 불변 셋 $ E(G) $ 와 거의 아벨 성질에 대한 구조적 제약 조건을 제시하는 추측 1.1, 1.2, 1.4 를 반박하기 위해.
• 생성자가 서로 다른 코히어런트 셋을 가질지라도 $ E(G) $ 가 닫힌 선분일 수 있음을 보여주어, $ E(G) $ 가 반드시 단순 폐곡선이어야 한다는 기대를 반박하기 위해.
• 코히어런트 셋이 하나의 생성자와 동일한 비-거의 아벨 다항식 반군을 구성하여, 기존 정리의 역이 성립하지 않음을 반박하기 위해.
• 유리 반군에서 $ J(G) \subsetneq E(G) $ 가 가능함을 보여주어, $ J(G) = E(G) $ 이면 구조적 규칙성이 있어야 한다는 가정을 도전하기 위해.
• 특히 비균일 다이나믹스와 비아벨 반군의 맥락에서 필요한 예외 케이스를 규명함으로써 기존 추측을 다듬기 위해.

제안 방법

• 다른 코히어런트 셋을 가진 유리 함수 $ f(z) = 2z - 1/z $ 와 $ g(z) = 2z - 4/z $ 를 구성하여, 둘 다 확장된 실수선 $ \overline{\mathbb{R}} $ 를 보존함으로써 $ E(G) \subset \overline{\mathbb{R}} $ 가 됨을 도출한다.
• 모비우스 코어지네이션 $ \phi(z) = 2z $ 을 사용하여 $ f $ 와 $ g $ 를 새로운 유리 함수 $ \tilde{f}, \tilde{g} $ 로 변환함으로써 $ \phi(J_f) = 2J_f $ 가 되게 하고, 다이나믹스를 유지하면서 $ E(\tilde{G}) = \phi(\overline{\mathbb{R}}) = I $, 즉 닫힌 구간이 됨을 보장한다.
• 모순을 통한 증명을 통해 $ E(G) = \overline{\mathbb{R}} $ 를 증명한다: $ \mathbb{R} \setminus E(G) $ 에 속하는 비퇴화된 간격 $ (x,y) $ 가 존재한다고 가정하면, 이는 $ g^{-1}(f(x)) \subset E(G) $ 에 속하는 점을 유도하여 상충됨을 보인다.
• 몬텔의 정리를 적용하여 $ \overline{\mathbb{C}} \setminus [-2,2] \subset N(G) $ 를 도출함으로써 $ J(G) = [-2,2] $ 를 얻고, $ J_g \subset [-1,1] $ 이므로 $ J_g \neq J_f $ 를 확인한다.
• 베어던의 정리(공통으로 작용하는 가족에 대한)를 활용하여, 거의 아벨 성질의 역이 성립하지 않음을 정당화한다. 즉, $ J_h = J(G) $ 이지만 $ G $ 는 거의 아벨이 아닌 반군을 구성함으로써 이를 입증한다.
• 함수 $ f(z) = z^2 - 2 $, $ g(z) = 4z^2 - 2 $ 가 $ J_f = [-2,2] $, $ J_g \subset [-1,1] $ 를 만족하고, $ J(G) = J_f $ 를 만족하며, $ g $ 가 $ [-1,1] $ 을 $ 2:1 $ 대응으로 $ [-2,2] $ 로 매핑함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 생성자가 서로 다른 코히어런트 셋을 가진 유리 반군의 완전히 불변 코히어런트 셋 $ E(G) $ 가 닫힌 선분일 수 있는가?
• RQ2 $ J(G) = E(G) $ 는 반군이 거의 아벨임을 의미하는가, 특히 반군의 코히어런트 셋과 동일한 코히어런트 셋을 가진 하나의 생성자만 존재할 경우에도?
• RQ3 유리 반군에서 $ J(G) \subsetneq E(G) $ 가 가능할 수 있는가, 이는 $ E(G) $ 가 완전히 불변에 대해 최소임을 가정하는 것과 모순된다.
• RQ4 비-거의 아벨 반군이 존재할 수 있는가, 이 반군의 코히어런트 셋이 생성자 중 하나의 코히어런트 셋과 동일한가?
• RQ5 단일 생성자 $ h $ 에 대해 $ J_h = J(G) $ 가 성립할 때, 반군 $ G $ 가 거의 아벨이 아니게 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 생성자 $ f(z) = 2z - 1/z $, $ g(z) = 2z - 4/z $ 를 가진 반군 $ G = \langle f, g \rangle $ 는 $ J_f \neq J_g $ 이지만 $ E(G) = \overline{\mathbb{R}} $, 즉 닫힌 선분임을 보여주며, 이는 추측 1.1과 1.2를 반박한다.
• 모비우스 코어지네이션을 거친 후 반군 $ \tilde{G} = \langle \tilde{f}, \tilde{g} \rangle $ 는 $ E(\tilde{G}) = I $, 즉 닫힌 구간이며, $ J(\tilde{G}) \subsetneq I $ 를 만족함으로써 $ J(G) \subsetneq E(G) $ 가 가능함을 보여준다.
• 생성자 $ f(z) = z^2 - 2 $, $ g(z) = 4z^2 - 2 $ 를 가진 다항식 반군 $ G = \langle f, g \rangle $ 는 $ J(G) = [-2,2] = J_f $ 를 만족하지만, $ J_g \subset [-1,1] $ 이므로 $ J_f \neq J_g $ 이며, $ G $ 는 거의 아벨이 아니다.
• 이 예시는 단일 생성자 $ h $ 에 대해 $ J_h = J(G) $ 이지만 $ G $ 가 거의 아벨이 아니라는 점을 보여주며, 따라서 추측 1.4를 무효화한다.
• 완전히 불변 코히어런트 셋 $ E(G) $ 는 생성자의 코히어런트 셋이 다를지라도 선분일 수 있으며, 이는 이러한 셋이 반드시 단순 폐곡선이 아니라는 점을 시사한다.
• 이 구성은 $ E(G) $ 가 항상 $ J(G) $ 와 같지 않으며, $ J(G) \subsetneq E(G) $ 는 유리 반군의 다이나믹스와 일관됨을 확인한다. 따라서 이전 추측들은 수정이 필요하다.