[논문 리뷰] Some Diffusion Processes Associated With Two Parameter Poisson-Dirichlet Distribution and Dirichlet Process

Shui Feng, Wei Sun|ArXiv.org|2009. 03. 03.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 디리클레 형식을 이용하여 두 파라미터를 가진 포아송-디리클레 분포 $PD(\alpha,\theta)$ 및 두 파라미터 디리클레 과정 $\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}$ 와 관련된 두 파라미터 대칭 확산 과정을 구성한다. 확률측도 공간 위의 레이블러진 확산 과정의 존재성과 유일성을 확립하며, 관련 이차형식이 닫힘 가능하고, 쿼asi-regular 로컬 디리클레 형식을 생성함을 증명함으로써, 플링엄-비엇 과정의 두 파라미터 버전에 대한 후보를 식별한다.

ABSTRACT

The two parameter Poisson-Dirichlet distribution $PD(α,θ)$ is the distribution of an infinite dimensional random discrete probability. It is a generalization of Kingman's Poisson-Dirichlet distribution. The two parameter Dirichlet process $Π_{α,θ,ν_0}$ is the law of a pure atomic random measure with masses following the two parameter Poisson-Dirichlet distribution. In this article we focus on the construction and the properties of the infinite dimensional symmetric diffusion processes with respective symmetric measures $PD(α,θ)$ and $Π_{α,θ,ν_0}$. The methods used come from the theory of Dirichlet forms.

연구 동기 및 목표

• 두 파라미터 설정에서 무한히 많은 중립적 대립유전자 모델의 무레이블 및 레이블러진 형태를 대칭 확산 과정을 이용해 확장하기 위해.
• 확률측도 공간 위의 두 파라미터 레이블러진 확산 과정의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 제안된 디리클레 형식이 닫힘 가능하고, 쿼asi-regular 로컬 디리클레 형식을 생성함을 증명하여 확산 과정의 존재를 보장하기 위해.
• 부모 독립적 돌연변이를 가진 두 파라미터 플링엄-비엇 과정의 엄밀한 구성 제공하기 위해.

제안 방법

• 디리클레 형식 이론을 활용하여 대칭 측도 $PD(\alpha,\theta)$ 및 $\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}$ 를 가진 무한차원 대칭 확산 과정을 구성한다.
• 공간 $E={\cal M}_1(S)$ 에서 $L^2(E;\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0})$ 의 실린더 함수 밀도 영역에서 이차형식 $({\cal E},{\cal F})$ 를 정의한다.
• 서로 독립적인 $S$-값을 가진 랜덤 변수 $\xi_s$ 의 독립성에 기반해 선형 함수 $B_{f-\nu_0(f)}$ 의 유계성으로 형식의 닫힘 가능성을 입증한다.
• [21, Lemma 7.5 및 Proposition 5.11] 의 결과를 적용하여, 폐포 $({\cal E},D({\cal E}))$ 가 쿼asi-regular 로컬 디리클레 형식임을 증명한다.
• GEM 표현과 분할 기반 모멘트 생성함수 $M_n(\lambda)$ 을 사용하여 두 파라미터 포아송-디리클레 분포의 구조를 분석한다.
• 베타 및 감마 함수의 渐近적 성질을 활용하여 적분 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$ 의 유계성을 보이며, 이가 $O(n^{\alpha-1})$ 임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레이블러진 무한히 많은 중립적 대립유전자 모델의 두 파라미터 일반화가 확산 과정으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 두 파라미터 모델과 관련된 이차형식이 닫힘 가능하고, 쿼asi-regular 로컬 디리클레 형식과 관련이 있는가?
• RQ3 두 파라미터 모멘트 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$ 가 $n \to \infty$ 일 때 渐近적 행동은 어떠한가?
• RQ4 두 파라미터 포아송-디리클레 분포는 GEM 표현과 분할 기반 모멘트 생성함수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 조건 $\alpha = -\kappa$, $\theta = m\kappa$ ($\kappa > 0$, $m \in \{2,3,\dots\}$) 하에서, 이차형식 $({\cal E},{\cal F})$ 는 $L^2(E;\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0})$ 에서 닫힘 가능하다.
• 폐포 $({\cal E},D({\cal E}))$ 는 쿼asi-regular 로컬 디리클레 형식이며, 이는 $E={\cal M}_1(S)$ 에서의 확산 과정 존재를 보장한다.
• 구성된 과정은 부모 독립적 돌연변이를 가진 두 파라미터 플링엄-비엇 과정의 좋은 후보이다.
• 모멘트 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$ 의 渐近적 행동은 $O(n^{\alpha-1})$ 으로 유계이며, 이는 $n$ 에 대해 일관된 유계성이다.
• $\sum_{\lambda:|\lambda|=n} M_n(\lambda) l(\lambda)$ 이 $O(n^\alpha)$ 임을 보이며, 이는 함수 $B_{f-\nu_0(f)}$ 의 유계성 증명에 핵심적이다.
• 증명은 베타 함수의 渐近적 성질과 항등식 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu) \approx C_1(\alpha,\theta) \cdot \Gamma(1-\alpha) (1+\theta+n)^{-(1-\alpha)}$ 에 기반하며, 이는 일관된 유계성 $C_2(\alpha,\theta)$ 를 이끈다.