[논문 리뷰] Some ergodic properties of metrics on hyperbolic groups

Uri Bader, Alex Furman|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 07.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비원소적 그로모프-하이퍼볼릭 군이 경계 및 경계 점들의 서로 다른 쌍의 공간 위에서 작용할 때, 기하학적 유사 흐름을 구성함으로써 그 작용의 에르고딕성 성질을 규명한다. 경계 작용에 대해 상대적 안정성 및 약한 혼합성 성질을 증명하고, 전통적인 음의 곡률 다각형의 설정을 넘어서 일반적인 메트릭 구조로의 에르고딕성 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Let $Γ$ be a non-elementary Gromov-hyperbolic group, and $\partial Γ$ denote its Gromov boundary. We consider $Γ$-invariant proper $δ$-hyperbolic, quasi-convex metric $d$ on $Γ$, and the associated Patterson-Sullivan measure class $[ν]$ on $\partial^{(2)}Γ$, and its square $[ν imesν]$ on $\partial^{(2)}Γ$ -- the space of distinct pairs of points on the boundary. We construct an analogue of a geodesic flow to study ergodicity properties of the $Γ$-actions on $(\partialΓ,ν)$ and on $(\partial^{(2)}Γ,[ν imesν])$.

연구 동기 및 목표

• 음의 곡률 다각형에서 기하학적 흐름의 에르고딕성 결과를 일반화하여, 임의의 적절한 $\delta$-하이퍼볼릭, 쿼어지컨벡스 메트릭을 갖는 그로모프-하이퍼볼릭 군의 더 넓은 설정으로 확장한다.
• 기하학적 흐름의 유사체를 사용하여 $̼𝕃$-작용이 경계 $∂\u033c𝕃$ 및 $∂^2\u033c𝕃$ 위에서 상대적 안정성 및 약한 혼합성 성질을 확립한다.
• 패트릭슨-수얼리 측도 클래스 하에서 경계 작용이 상대적 메트릭 에르고딕이며, 상대적 안정성 및 약한 혼합성(SAT) 성질을 만족함을 증명한다.
• 기하학적 맥락(예: 음의 곡률 다각형)에서 알려진 결과를 워드 메트릭과 그린 메트릭을 포함한 일반적인 거시기하 설정으로 확장한다.

제안 방법

• 기하학적 흐름의 유사체를 구성하여, 초등적 기하학적 공간 $M$ 내의 준지오데식의 역동성을 활용해 ${\partial^2\Gamma} \times \mathbb{R}$ 위에 유사 흐름 동역계를 수립한다.
• 기하학적 공간 $M$ 내의 공 부피의 점 渐진적 성장률로 성장 지수 $\delta_\Gamma$ 를 정의하며, 기저점과 동치 클래스 $[d]$ 내의 대표 메트릭에 관계없이 독립적이다.
• 경계 $\partial\Gamma$ 위의 패트릭슨-수얼리 측도 클래스 $[\nu^{\text{PS}}]$ 와 그 제곱 $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$ 를 정의하고, 군 작용에 대해 불변임을 보인다.
• 부오웬-마르굴리스 측도 $\mu^{\text{BM}}$ 를 사용하여 $X = \partial^2\Gamma \times \mathbb{R}$ 위에 유도된 흐름에 대해 파oincaré 재진입 정리를 적용하여 재진입 및 혼합 행동을 분석한다.
• 수축하는 공 위의 평균과 가중치 합의 수렴을 이용하여, 군 원소에 의한 측도의 투영이 매력적 고정점에서의 Dirac 측도로 수렴함을 보인다.
• 상대적 에르고딕성 이론과 상대적 SAT 성질을 적용하여, $\operatorname{pr}_-, \operatorname{pr}_+ : \partial^2\Gamma \to \partial\Gamma$ 의 사영이 상대적 메트릭 에르고딕함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비원소적 그로모프-하이퍼볼릭 군의 경계 위에서 패트릭슨-수얼리 측도 클래스에 대해 상대적 안정성 및 약한 혼합성(SAT) 성질을 만족하는가?
• RQ2 음의 곡률 다각형에서 기하학적 흐름의 에르고딕성 결과는 임의의 적절한 $\delta$-하이퍼볼릭, 쿼어지컨벡스 메트릭을 갖는 하이퍼볼릭 군으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 $\partial^2\Gamma$ 위의 작용이 기하학적 흐름 유사체를 통해 올라올 때 상대적 메트릭 에르고딕성인가?
• RQ4 성장 지수 $\delta_\Gamma$ 는 군 작용이 경계에서 에르고딕 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 구성된 기하학적 흐름 유사체의 역동성은 시스템의 약한 혼합성 및 재진입 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $\Gamma$ 가 $(\partial\Gamma, [\nu^{\text{PS}}])$ 위에서 상대적 메트릭 에르고딕함을 보이며, 이는 임의의 불변 함수가 측도 클래스에 대해 거의 어디서나 상수여야 함을 의미한다.
• $\operatorname{pr}_-, \operatorname{pr}_+ : \partial^2\Gamma \to \partial\Gamma$ 는 상대적 안정성 및 약한 혼합성(SAT)을 만족하며, 이는 측도 클래스 $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$ 하에서 강한 혼합 행동을 의미한다.
• 측도가 양수인 임의의 가측 집합 $A \subset \partial^2\Gamma$ 에 대해, $g \in \Gamma$ 와 $\operatorname{pr}_-(A) \cap g(\operatorname{pr}_-(A))$ 내의 양수 측도 부분집합 $B$ 가 존재하여, 모든 $\xi \in B$ 에 대해 $\nu(g^{-1}A^+_{\xi}) > 1 - \epsilon$ 이 성립함을 확인하여 SAT 성질을 확인한다.
• 모든 $\Omega$ 가 에르고딕인 p.m.p. 시스템이라면, $X \times \Omega$ 위에 유도된 흐름은 에르고딕함을 보이며, 이는 경계 작용의 상대적 메트릭 에르고딕성 때문이 다.
• 중심이 $x_+$ 인 수축하는 공 위에서 함수 $h$ 의 평균의 극한은 0으로 수렴하며, 이는 $\gamma_{n,x}^{-1}$ 에 의한 측도의 투영이 약한 수렴으로 $x_+$ 에서의 Dirac 측도로 수렴함을 의미하여 에르고딕성 결과를 지지한다.
• 구성된 기하학적 흐름 유사체는 $\Gamma$-작용이 $\partial^2\Gamma$ 위에서 $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$ 측도 클래스 하에 에르고딕함을 보장하며, 이는 고전 결과를 일반 하이퍼볼릭 군 작용으로 확장한다.