[논문 리뷰] Some exact solutions for the rotational flow of a generalized second grade fluid between two circular cylinders

Amir Mahmood, Saif Ullah외 1명|ArXiv.org|2008. 03. 29.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라플라스 및 하케ル 변환을 사용하여 두 개의 동심 원통 사이에서 일반화된 제2종 유체의 회전 유동에 대한 정확한 해석적 해를 유도한다. 주요 기여는 분수계수 β에 따라 달라지는 속도 및 전단 응력 분포를 도출한 것으로, 낮은 β 값일수록 경계 근처에서 특히 뚜렷하게 유체 속도가 증가함을 보여주며, β = 1 또는 α = 0일 때는 제2종 및 뉴턴 유체 해로 축소됨을 보여준다.

ABSTRACT

The velocity field and the associated tangential stress corresponding to flow of a generalized second grade fluid between two infinite coaxial circular cylinders, are determined by means of the Laplace and Hankel transforms. At time $t=0$ the fluid is at rest and at $t=0^+$ cylinders suddenly begin to rotate about their common axis with a constant angular acceleration. The solutions that have been obtained satisfy the governing differential equations and all imposed initial and boundary conditions. The similar solutions for a second grade fluid and Newtonian fluid are recovered from our general solutions. The influence of the fractional coefficient on the velocity of the fluid is also analyzed by graphical illustrations.

연구 동기 및 목표

• 두 축을 공유하는 원통 사이에서 일반화된 제2종 유체의 회전 유동에 대한 속도장과 전단 응력의 정확한 해석적 해를 유도하기 위해.
• 분수도수 β가 점탄성 유동에서 유체 역학에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• β = 1 또는 α = 0일 때 고전적 제2종 및 뉴턴 유체 해가 특수한 경우로 복원됨을 보장하기 위해.
• 일정한 각加속도를 갖는 급작스러운 회전 조건 하에서의 유체의 일시적 거동을 분석하기 위해.
• 분수상태방정식을 활용한 복잡한 유변학적 거동을 모델링하는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유동을 지배하는 시간 분수도수 편미분방정식을 해결하기 위해 라플라스 및 하케르 변환을 적용하기 위해.
• 응력-변형률 관계에서 점탄성 기억 효과를 모델링하기 위해 리만-리우빌 분수도수 미분 연산자 D_t^β를 사용하기 위해.
• 닫힌형 적분 및 급수 형태로 해를 표현하기 위해 일반화된 G-함수 표현을 적용하기 위해.
• 베셀 함수의 수직성 성질을 이용하여 라플라스 및 하케르 변환의 역변환을 통해 속도 및 전단 응력장을 유도하기 위해.
• 유도된 고유값 문제를 해결하여 전이방정식 B_1(R_1 r_n) = 0으로부터 고유근 r_n을 결정하기 위해.
• β = 1 또는 α = 0일 때 제2종 및 뉴턴 유체의 알려진 결과를 복원함으로써 해의 타당성을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유체의 구성 방정식에 포함된 분수도수 β는 원통형 쿠에트 유동에서 일반화된 제2종 유체의 일시적 속도 분포에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 시간에 따라 변화하는 각가속도를 갖는 두 개의 동심 원통 사이에서 일반화된 제2종 유체의 회전 유동에 대해 속도장과 전단 응력의 정확한 해석적 표현은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 제2종 유체의 해가 특정한 매개변수 한계 조건에서 제2종 및 뉴턴 유체의 해로 얼마나 잘 축소되는가?
• RQ4 분수 매개변수 β는 시간에 따라 변화하고 반경 방향 전체에 걸쳐 속도 분포의 발달에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 반경 방향 위치와 경계 조건은 급작스러운 회전 조건 하에서 유체의 일시적 반응을 어떻게 형성하는가?

주요 결과

• 분수도수 β가 감소할수록 속도장이 증가하며, 특히 원통 경계 근처에서 가장 뚜렷한 증가가 관찰된다.
• 동일한 경계 조건 하에서 일반화된 제2종 유체는 제2종 및 뉴턴 유체보다 더 빠르게 유동함을 보여주며, 특히 낮은 β 값일수록 뚜렷하다.
• β = 1일 때 해는 고전적 제2종 유체 해로 축소되며, β = 1 및 α = 0일 때는 뉴턴 유체 해로 축소된다.
• 유체의 일시적 거동은 νr_n²t / (1 + αr_n²)를 포함하는 지수 감쇠 항에 의해 지배되며, 이는 반경 모드 및 유체 매개변수에 따라 달라지는 완화 동역학을 나타낸다.
• 수치적 예시는 β의 영향이 내부 및 외부 원통 근처에서 가장 강력하며, 낮은 β일수록 속도 분포의 기울기가 더 급격해짐을 확인한다.
• 유도된 해는 모든 t > 0에 대해 유효하며, 급작스러운 회전과 일정한 각가속도 조건을 포함한 모든 초기 및 경계 조건을 만족한다.