[논문 리뷰] Some Examples of Blackadar and Kirchberg's MF Algebras

Don Hadwin, Junhao Shen|ArXiv.org|2008. 06. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 블랙더와 키르히버그의 MF 대수를 최소 및 최대 텐서곱과 유한군 또는 정수군에 의한 와꾸곱을 통해 새로운 예를 구성함으로써 조사한다. 특정 텐서곱과 와꾸곱, 예를 들어 $ C_r^*(F_n) \times_\theta \mathbb{Z} $ 및 $ C_r^*(F_n) \otimes_{\text{max}} C^*(F_m) $ 가 MF 대수임을 증명하며, 특히 그들의 BDF 확장 준군이 군이 아니라는 것을 보이며, 하아거룹과 토르비어르슨의 $ C_r^*(F_n) $ 에 대한 기초적 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In the paper, we provide some examples of MF algebras by considering minimal or maximal tensor products of MF algebras and crossed products of MF algebras by finite groups or an integer group. We also present some examples of C$^*$-algebras, whose BDF extension semigroup is not group. These examples include, for example, $ C_r^*(F_n)\otimes_{max} C^*(F_n) $, $ C_r^*(F_n)\otimes_{min} C^*(F_n) $, $C_r^*(H_1\ast H_2)$ with $2\le |H_1|

연구 동기 및 목표

• 기초적인 예인 $ C_r^*(F_n) $ 를 초월하여, BDF 확장 준군이 군이 아닌 것으로 알려진 C*-대수의 범위를 넓히는 것.
• MF 대수의 텐서곱과 와꾸곱이 MF 성질을 유지하는지 조사하는 것.
• MF 성질 덕분에 바이쿨루스쿠의 위상적 자유 엔트로피 차원이 잘 정의되는 C*-대수의 새로운 예를 제공하는 것.
• $ \mathbb{Z} $ 또는 유한군에 의한 MF 대수의 와꾸곱이 MF 대수로 남는 조건을 설정하는 것.
• MF 대수의 맥락에서 핀스너와 바이쿨루스쿠의 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• MF 대수의 정의를 초월한 행렬 대수의 초구성에 대한 임bedding을 이용하여 텐서곱과 와꾸곱의 MF 성질을 확인하는 것.
• 완전한 와꾸곱의 보편 성질을 적용하여 $ \mathbb{A} \rtimes_\theta \mathbb{Z} $ 에서 행렬 초구성으로의 $ * $-호모모르피즘을 구성하는 것.
• 비가환 다항식의 노름이 유한차원 표현에서 작은 오차 내에서 유지됨을 보이기 위해 노름 근사 기법을 활용하는 것.
• 모든 $ a \in \mathbb{A} $ 에 대해 $ \norm{\alpha(n_j)a - a} \to 0 $ 인 수열 $ n_j \to \mathbb{N} $ 의 존재를 이용하여 동작에 대한 점근적 불변성을 확보하는 것.
• 하아거룹과 토르비어르슨에 의해 $ C_r^*(F_n) $ 가 MF 대수임을 증명한 것을 기초 사례로 삼아 더 복잡한 예를 구성하는 것.
• 텐서곱과 와꾸곱에 관한 결과를 결합하여 BDF 확장 준군이 군이 되지 않는 새로운 예를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 MF 대수의 최대 텐서곱이 MF 대수인가?
• RQ2 두 MF 대수의 최소 텐서곱이 MF 대수인가, 특히 한 인자에 대해 정확하거나 준대각선일 경우?
• RQ3 MF 대수의 $ \mathbb{Z} $ 또는 유한군에 의한 와꾸곱이 MF 대수인가?
• RQ4 $ C_r^*(F_n) $ 를 초월하여 BDF 확장 준군이 군이 아닌 C*-대수들은 무엇인가?
• RQ5 거의 주기적인 행동을 보이는 유니터리 작용을 포함하는 와꾸곱 구성에서 MF 성질이 유지되는가?

주요 결과

• 모든 $ n \geq 2 $ 에 대해 $ \mathcal{B} $ 가 단위를 가진 분리 가능한 MF 대수이면, 최대 텐서곱 $ C^*(F_n) \otimes_{\text{max}} \mathcal{B} $ 는 MF 대수이다.
• 모든 $ \mathcal{A} $ 가 정확하거나 준대각선이고 $ \mathcal{B} $ 가 단위를 가진 분리 가능한 MF 대수이면, 최소 텐서곱 $ \mathcal{A} \otimes_{\text{min}} \mathcal{B} $ 는 MF 대수이다.
• 모든 $ a \in \mathcal{A} $ 에 대해 $ \norm{\alpha(n_j)a - a} \to 0 $ 인 수열 $ n_j \to \infty $ 이 존재하는 경우, $ \mathcal{A} $ 가 유한 생성 단위를 가진 MF 대수이고 $ \alpha $ 가 $ \mathbb{Z} $-작용이면, 와꾸곱 $ \mathcal{A} \rtimes_\alpha \mathbb{Z} $ 는 MF 대수이다.
• $ n, m \geq 2 $ 이면, BDF 확장 준군 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(F_n) \otimes_{\text{max}} C^*(F_m)) $ 는 군이 아니다.
• $ n \geq 2 $ 이고 $ \mathcal{B} $ 가 단위를 가진 분리 가능한 MF 대수이면, BDF 확장 준군 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(F_n) \otimes_{\text{min}} \mathcal{B}) $ 는 군이 아니다.
• $ |H_1| \geq 2 $, $ |H_2| \geq 3 $, $ H_1, H_2 $ 가 유한군이면, $ H = H_1 * H_2 $ 이면 BDF 확장 준군 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(H)) $ 는 군이 아니다.