[논문 리뷰] Some exotic nontrivial elements of the rational homotopy groups of $\mathrm{Diff}(S^4)$

Tadayuki Watanabe|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 삼차 그래프를 위한 고차원 버전의 클래퍼 수술과 콘체비치의 특성류를 이용하여 $\pi_*(\mathrm{Diff}(S^4)) \otimes \mathbb{Q}$ 내에서 비정상적인 비자명한 유리수 호모토피류를 구성한다. 4차원 스마일 추측이 성립하지 않음을 보이며, $\mathrm{Diff}(D^4,\partial)$ 가 수축 가능하지 않음을 증명한다. 이는 그래프 기반의 피복 복합체와 구성 공간 적분을 통해 유리수 호모토피군이 비자명하게 감지됨을 보여준다.

ABSTRACT

This paper studies the rational homotopy groups of the group $\mathrm{Diff}(S^4)$ of self-diffeomorphisms of $S^4$ with the $C^\infty$-topology. We present a method to prove that there are many `exotic' non-trivial elements in $π_*\mathrm{Diff}(S^4)\otimes \mathbb{Q}$ parametrized by trivalent graphs. As a corollary of the main result, the 4-dimensional Smale conjecture is disproved. The proof utilizes Kontsevich's characteristic classes for smooth disk bundles and a version of clasper surgery for families. In fact, these are analogues of Chern--Simons perturbation theory in 3-dimension and clasper theory due to Goussarov and Habiro.

연구 동기 및 목표

• 유리수 호모토피군 $\pi_*\mathrm{Diff}(S^4) \otimes \mathbb{Q}$ 를 결정하는 것, 특히 $O_5$ 에서 기인하지 않는 비자명한 원소를 찾는 것.
• 4차원 스마일 추측을 반증하는 것 — 즉, $\mathrm{Diff}(S^4) \simeq O_5$ 라는 가정이 성립하지 않는다는 것을 입증하는 것.
• 삼차 그래프와 피복 복합체 구성 방법을 이용하여 $\pi_*\mathrm{Diff}(D^4,\partial) \otimes \mathbb{Q}$ 내에서 명시적인 비자명한 원소를 구성하는 것.
• $\mathrm{Diff}(D^4,\partial)$ 가 수축 가능하지 않음을 입증하여 4차원에서 스마일 추측이 실패함을 보이는 것.
• 그래프 이론적 불변량을 이용하여, 특히 $S^2$ 에 대한 매끄럽지만 비자명한 $D^4$-피복 복합체의 존재를 보여주는 것.

제안 방법

• 구성 공간 적분과 그래프 복합체를 통해 정의된 콘체비치의 특성류를 이용하여 매끄러운 디스크 피복 복합체를 다룸.
• 구오사로프–하비에 이론과 초전도 이론의 양자역학적 섭동 이론을 기반으로 한 고차원 클래퍼 수술의 일반화를 적용함.
• 삼차 그래프에서 $v$-기울기 자료와 교차성 조건을 이용하여 $S^k$ 위의 명시적 $D^4$-피복 복합체를 구성함.
• 사르드–스마일 정리와 프레드홀름 이론을 활용하여, 해의 모듈리 공간 위에서 평가 사상이 교차성 조건을 만족하고 유한한 점들의 0차원 다양체를 유도함을 보임.
• 구성 공간에서의 사영 사상으로부터 유도되는 프레드홀름 연산자의 차수를 분석하여, 잘 정의된 불변량을 확보하기 위해 그 값이 0이 됨을 보임.
• 섭동 기법을 사용하여 $C^r$ 섹션을 $C^\infty$ 로 근사하면서도 교차성을 유지함으로써, 모듈리 공간이 컴act하고 유한함을 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리수 호모토피류 중 $O_5$ 에서 기인하지 않는 $\pi_*\mathrm{Diff}(S^4) \otimes \mathbb{Q}$ 내의 비자명한 원소가 존재하는가?
• RQ2 4차원 스마일 추측이 성립하는가? 즉, $\mathrm{Diff}(D^4,\partial)$ 가 수축 가능한가?
• RQ3 콘체비치의 특성류가 그래프 기반 구성 방법을 통해 $\pi_*\mathrm{Diff}(D^4,\partial) \otimes \mathbb{Q}$ 내의 비자명한 원소를 감지할 수 있는가?
• RQ4 위상적으로 자명하지만 매끄럽게는 자명하지 않은 $D^4$-피복 복합체가 $S^k$ 위에 존재하는가?
• RQ5 $\mathbb{R}^4$ 상에서 무한원에서 표준적인(symplectic) 기하학적 구조의 공간 $\mathit{Sympl}$ 이 수축 가능한가?

주요 결과

• 구성 공간 적분을 통한 콘체비치 특성류의 $S^k$ 위의 $D^4$-피복 복합체에 대한 평가가, 삼차 다이어그램의 공간 $\mathscr{A}_k$ 로부터 $\pi_k B\mathrm{Diff}(D^4,\partial) \otimes \mathbb{Q}$ 에로의 전성 사상(epimorphism)을 유도한다.
• $k=2$ 일 때, 공간 $\mathscr{A}_2 \cong \mathbb{Q}$ 이므로 $\pi_2 B\mathrm{Diff}(D^4,\partial) \otimes \mathbb{Q} \neq 0$ 이며, 이는 두 번째 호모토피군에서의 비자명성을 증명한다.
• 4차원 스마일 추측은 반증됨: $\mathrm{Diff}(S^4) \not\simeq O_5$.
• 위상적으로 자명하지만 매끄럽게는 자명하지 않은 $S^2$ 위의 매끄러운 $D^4$-피복 복합체가 존재하며, 이는 커비의 문제 4.122에 대한 해답이다.
• $\mathbb{R}^4$ 상에서 무한원에서 표준적인(symplectic) 기하학적 구조의 공간 $\mathit{Sympl}$ 이 수축 가능하지 않으며, 이는 커비의 문제 4.141를 해결한다.
• 디스크 $D^3$ 의 의사등장 공간 $\mathscr{C}(D^3)$ 는 수축 가능하지 않으며, 이는 의사등장과 등장이 동치가 아님을 보여준다.