[논문 리뷰] Some Extremal Values of the Number of Congruences of a Finite Lattice

Júlia Kulin, Claudia Mureșan|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 16.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 크기가 $n$인 유한 래티스에서 합동의 수의 세 번째, 네 번째, 다섯 번째로 큰 값을 결정하며, $n \geq 5$일 때 세 번째로 큰 값은 $5 \cdot 2^{n-5}$임을 증명하고, $n \geq 6$일 때 네 번째와 다섯 번째로 큰 값은 각각 $2^{n-3}$과 $7 \cdot 2^{n-6}$임을 밝힌다. 이 값들을 달성하는 래티스의 구조와 합동 래티스의 특성을 순서 합과 수평 합을 이용해 기술하며, 유한 래티스에서 극값 합동 수에 관한 이전 연구를 확장한다.

ABSTRACT

We study the smallest, as well as the largest numbers of congruences of lattices of an arbitrary finite cardinality $n$. Continuing the work of Freese and Cz\' edli, we prove that the third, fourth and fifth largest numbers of congruences of an $n$--element lattice are: $5\cdot 2^{n-5}$ if $n\geq 5$, respectively $2^{n-3}$ and $7\cdot 2^{n-6}$ if $n\geq 6$. We also determine the structures of the $n$--element lattices having $5\cdot 2^{n-5}$, respectively $2^{n-3}$ congruences, along with the structures of their congruence lattices.

연구 동기 및 목표

• 주어진 크기 $n$인 유한 래티스에서 합동의 수의 극값 — 특히 세 번째, 네 번째, 다섯 번째로 큰 값 — 을 결정하는 것.
• 이러한 극값 합동 수를 달성하는 $n$원소 래티스의 구조를 특성화하는 것.
• 극값 합동 수를 달성하는 래티스의 합동 래티스의 동형 유형을 기술하는 것.
• Freese와 Czédli가 이전에 유한 래티스에서 가장 큰 합동 수에 관해 확립한 결과를 확장하는 것.
• CFI-표현 가능성 문제에 기여하기 위해, $k$가 극값 합동 수일 때 삼중조 $(k, n, n)$ 중 어떤 것이 유한 래티스에 의해 표현 가능한지를 규명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 기본 래티스($\mathcal{L}_r$, $N_5$, $\mathcal{L}_2 \times \mathcal{L}_3$, $\mathcal{L}_3 \boxplus \mathcal{L}_5$, $\mathcal{L}_4 \boxplus \mathcal{L}_4$)의 순서 합과 수평 합을 이용해 극값 래티스를 구성한다.
• 귀납법과 구조적 분해 기법을 적용하며, 소수 요소를 가진 래티스의 합동 래티스에 관한 이전 연구 결과(예: [8])에 의존한다.
• 분배적 또는 모듈라 래티스에 대한 부울 합동 래티스에 관한 알려진 결과를 활용하여 결과 래티스의 합동 래티스의 동형 유형을 식별한다.
• 분배적 또는 모듈라 래티스일 경우 래티스의 합동 래티스가 체인의 곱 또는 부울 래티스와 동형임을 이용한다.
• 다섯 번째로 큰 값에 대한 증명은 더 작은 $n$에 대해 결과가 성립한다고 가정하는 귀납적 추론에 기반하며, 중간 값이 존재하지 않음을 배제하기 위해 모순을 사용한다.
• 작은 경우에서 관찰된 구조적 패tern을 바탕으로, $7 \cdot 2^{n-6}$개의 합동을 달성하는 래티스의 구조에 대해 추측을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 $n$인 래티스에서 가능한 세 번째로 큰 합동 수는 무엇인가? ($n \geq 5$)
• RQ2 크기가 $n$인 래티스에서 가능한 네 번째로 큰 합동 수는 무엇인가? ($n \geq 6$)
• RQ3 크기가 $n$인 래티스에서 가능한 다섯 번째로 큰 합동 수는 무엇인가? ($n \geq 6$)
• RQ4 어떤 $n$-원소 래티스가 이러한 극값 합동 수를 달성하는가?
• RQ5 세 번째, 네 번째, 다섯 번째로 큰 합동 수를 달성하는 래티스의 합동 래티스의 동형 유형은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $n \geq 5$에 대해, $n$-원소 래티스에서 세 번째로 큰 합동 수는 $5 \cdot 2^{n-5}$이며, 이는 $r \in \overline{1,n-4}$에 대해 $\mathcal{L}_r \dotplus N_5 \dotplus \mathcal{L}_{n-r-3}$ 형태의 래티스에서 달성된다.
• 모든 $n \geq 6$에 대해, 네 번째로 큰 합동 수는 $2^{n-3}$이며, 이는 $\mathcal{L}_r \dotplus (\mathcal{L}_2 \times \mathcal{L}_3) \dotplus \mathcal{L}_{n-r-4}$ 또는 $\mathcal{L}_s \dotplus \mathcal{L}_2^2 \dotplus \mathcal{L}_t \dotplus \mathcal{L}_2^2 \dotplus \mathcal{L}_{n-s-t-4}$ 형태의 래티스에서 달성되며, 여기서 $s,t \in \mathbb{N}^*$ 이고 $s+t \leq n-5$이다.
• 모든 $n \geq 6$에 대해, 다섯 번째로 큰 합동 수는 $7 \cdot 2^{n-6}$이며, 저자들은 이 값을 달성하는 래티스가 $\mathcal{L}_k \dotplus (\mathcal{L}_3 \boxplus \mathcal{L}_5) \dotplus \mathcal{L}_{n-k-4}$ 또는 $\mathcal{L}_k \dotplus (\mathcal{L}_4 \boxplus \mathcal{L}_4) \dotplus \mathcal{L}_{n-k-4}$ 형태와 동형임을 추측한다. 여기서 $k \in \overline{1,n-5}$이다.
• 합동 수가 $5 \cdot 2^{n-5}$를 달성하는 래티스의 합동 래티스는 $\mathcal{L}_2^{n-5} \times (\mathcal{L}_2 \dotplus \mathcal{L}_2^2)$ 와 동형이며, 이는 부울 래티스도 아니고 모듈라 래티스도 아니다.
• 합동 수가 $2^{n-3}$을 달성하는 래티스의 합동 래티스는 $\mathcal{L}_2^{n-3}$과 동형이며, 이는 부울 래티스이며, 래티스가 분배적이라는 점과 일치한다.
• 합동 수가 $2^{n-1}$ 또는 $2^{n-2}$인 래티스의 합동 래티스는 부울 래티스이며, 각각 $\mathcal{L}_2^{n-1}$ 또는 $\mathcal{L}_2^{n-2}$와 동형이다. 이는 기저 래티스가 분배적 또는 모듈라이기 때문이다.