[논문 리뷰] Some families of generalized Mathieu-type power series, associated probability distributions and related functional inequalities involving complete monotonicity and log-convexity

Živorad Tomovski, Khaled Mehrez|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 08.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 적분 표현을 갖는 일반화된 마티외 유형의 멱급수를 도입하고, 관련된 확률 분포, 특성 함수, 모멘트를 유도한다. 완전 단조성과 상대대칭성 성질을 입증하여, 투란 유형 및 지수적 경계를 포함한 새로운 함수 부등식을 도출하며, 주요 결과로 리만 제타 및 허위-레르히 제타 함수를 포함한 명시적 부등식을 제시한다.

ABSTRACT

By making use of the familiar Mathieu series and its generalizations, the authors derive a number of new integral representations and present a systematic study of probability density functions and probability distributions associated with some generalizations of the Mathieu series. In particular, the mathematical expectation, variance and the characteristic functions, related to the probability density functions of the considered probability distributions are derived. As a consequence, some interesting inequalities involving complete monotonicity and log-convexity are derived.

연구 동기 및 목표

• 일련의 수열 {a_n}과 매개변수 α, β, μ, ν를 포함하는 일반화된 마티외 유형의 멱급수에 대한 적분 표현을 개발한다.
• 이러한 일반화된 급수와 관련된 확률 밀도 함수 및 분포를 정의하고 분석한다.
• 변수 r에 관해 일반화된 급수의 완전 단조성과 상대대칭성 성질을 조사한다.
• 단조성과 볼록성 성질을 이용하여, 투란 유형 및 지수적 경계를 포함한 새로운 함수 부등식을 도출한다.
• 보조 제타 유형 급수를 활용하여 일반화된 마티외 급수의 날카운 하한 및 상한을 확립한다.

제안 방법

• 폭스-라이트 함수와 메이저 G-함수를 사용하여 일반화된 마티외 급수의 적분 표현을 도출한다.
• 정규화된 일반화된 마티외 급수에 기반한 확률 밀도 함수를 도입하고, 그 모멘트, 분산, 특성 함수를 계산한다.
• 함수 r ↦ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r, a, z)가 (0, ∞)에서 완전 단조성과 상대대칭성을 띠며, 이를 증명한다.
• 보조 제타 유형 급수 ζ_{μ,ν}(α,β,z) = ∑ (ν)_n z^n / (n! a_n^{αμ−β}) 의 비율을 이용하여 경계를 도출한다.
• 레마 1(도함수 비율의 단조성에 관한 것)과 로피탈의 정리를 적용하여 지수적 하한을 유도한다.
• 로그-완전 단조성 함수의 초가역성 성질을 활용하여, 투란 유형 체인의 두 번째 부등식을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 함수인 폭스-라이트 함수를 포함하는 적분 형태로 일반화된 마티외 유형의 멱급수를 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 정규화된 일반화된 마티외 급수의 확률적 성질(밀도 함수, 모멘트, 특성 함수)은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 마티외 급수가 매개변수 r에 대해 언제 완전 단조성과 상대대칭성을 갖는가?
• RQ4 단조성과 볼록성 성질로부터 어떤 함수 부등식, 예를 들어 투란 유형 또는 지수적 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 보조 제타 유형 급수 ζ_{μ,ν}(α,β,z)는 일반화된 마티외 급수의 경계에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 조건 γ(μα − β) > 1 하에서 일반화된 마티외 급수 S_{μ,ν}^{(α,β)}(r, {k^γ}, z)는 메이저 G-함수와 폭스-라이트 함수를 포함하는 적분 표현을 갖는다.
• 함수 r ↦ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r, a, z)는 (0, ∞)에서 완전 단조성과 상대대칭성을 띠며, 이는 투란 유형 부등식을 만족함을 의미한다.
• 모든 r₁, r₂ > 0에 대해 부등식 S_{μ,ν}^{(α,β)}(√(r₁+r₂)/2, a, z)^2 ≤ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r₁, a, z) S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r₂, a, z) 가 성립하며, 이는 보조 급수 ζ_{μ,ν}(α,β,z) 가 수렴할 경우에 한하여 성립한다.
• 지수적 하한이 도출된다: S_{μ,ν}^{(α,β)}(r, a, z) ≥ 2ζ_{μ,ν}(α,β,z) exp(−μ ζ_{μ+1,ν}(α,β,z)/ζ_{μ,ν}(α,β,z) r²).
• 특수한 경우 μ=2, r>0 에서 부등식 2ζ(3) exp(−2ζ(5)/ζ(3) r²) ≤ S(r) 가 성립하며, 여기서 ζ(s)는 리만 제타 함수이다.
• μ=3/2 인 경우, 모든 r>0 에 대해 부등식 π²/3 exp(−π²r²/10) ≤ S_{3/2}(r) 가 성립한다.