[논문 리뷰] Some formulae for products of Fubini polynomials with applications

Levent Kargın|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 23.

Advanced Mathematical Identities인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 생성함수와 적분 변환을 사용하여 푸베니 다항식과 수를 위한 새로운 명시적 공식을 유도하며, p-베르누이 수와 아포스톨-베르누이 함수에 대한 새로운 닫힌 표현식을 이끌어낸다. 푸베니 다항식의 합과 곱의 적분에 대한 항등식을 수립하며, 일반화된 이항형 항등식과 베르누이 수를 포함하는 적분 공식을 포함한다. 이는 수론과 해석학에서 특수 함수에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper we evaluate sums and integrals of products of Fubini polynomials and have new explicit formulas for Fubini polynomials and numbers. As a consequence of these results new explicit formulas for p-Bernoulli numbers and Apostol-Bernoulli functions are given. Besides, integrals of products of Apostol-Bernoulli functions are derived.

연구 동기 및 목표

• 생성함수 기법을 사용하여 푸베니 다항식과 수에 대한 새로운 명시적 공식을 도출하는 것.
• 클래식한 이항 항등식 ∑(n choose k)Fk = 2Fn과 같은 푸베니 수를 포함하는 일반화된 이항 항등식을 일반화하는 것.
• 베르누이 수를 이용한 푸베니 다항식 곱의 적분 표현을 수립하는 것.
• 변환 항등식을 통해 p-베르누이 수와 아포스톨-베르누이 함수로 결과를 확장하는 것.
• 아포스톨-베르누이 함수에 대한 새로운 닫힌 표현식과 그 곱의 적분을 제공하는 것.

제안 방법

• 두 변수 푸베니 다항식을 지수 생성함수 ∑Fn(x;y)tn/n! = ext / (1 − y(et − 1))를 통해 도입한다.
• 생성함수에서 미분과 계수 비교를 통해 재귀 및 콘볼루션 항등식을 유도한다.
• 부분적분과 다항식 곱에 대한 단항식의 알려진 적분 항등식을 적용한다.
• 스털링 수의 제1종과 제2종을 포함하는 행렬 역행렬 기법을 사용하여 합 항등식을 증명한다.
• 변수 치환을 통해 기존 항등식을 p-베르누이 수와 아포스톨-베르누이 함수에 대한 새로운 형태로 변환한다.
• 다항식 적분 항등식에 y = λ/(1−λ)를 대입하고 아포스톨-베르누이 함수와 연결함으로써 적분 공식을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성함수와 적분 변환을 사용하여 푸베니 다항식에 대해 유도할 수 있는 새로운 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ2 클래식한 이항 항등식 ∑(n choose k)Fk = 2Fn은 어떤 방식으로 서로 다른 매개변수를 가진 푸베니 다항식의 곱으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 [-1, 0]에서 두 푸베니 다항식의 곱의 적분은 무엇이며, 베르누이 수와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 결과는 어떻게 p-베르누이 수와 아포스톨-베르누이 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ5 아포스톨-베르누이 함수의 곱에 대해 어떤 새로운 적분 항등식이 도출되는가?

주요 결과

• 푸베니 다항식에 대한 새로운 명시적 공식이 도출되었다: Fn(y) = ∑(k=0 to n) {n choose k} k! y^k [2^{n+1}(y+1)^k + (−1)^{k+1}] / (2y+1)^{k+1} (y ≠ −1/2).
• p-베르누이 수에 대해 B_{2n−1,p} = (p+1)/p ∑(k=0 to 2n−1) {2n−1 choose k+1} (−1)^{k+1} (k+1)! / (k+p+1) 와 B_{2n,p}에 대한 유사한 공식이 제시된다.
• 일반화된 이항형 항등식이 증명되었다: (y+1) ∑(k=0 to n) (n choose k) Fk(y) Fn−k(y) = Fn+1(y) + Fn(y).
• 적분 항등식이 수립되었다: ∫_{−1}^0 Fm(y) Fn(y) dy = (−1)^m ∑(j=0 to m) (m choose j) B_{n+j} (m ≥ 0, n ≥ 1).
• 아포스톨-베르누이 함수에 대한 새로운 공식이 도출되었다: B_{n+1}(λ)/(n+1) = ∑(k=0 to n) {n choose k} k! (−λ)^k [2^{n+1}λ^k + (λ−1)^{k+1}] / (λ^2−1)^{k+1} (λ ≠ ±1).
• 두 아포스톨-베르누이 함수의 곱의 적분이 제시되었다: ∫_{−∞}^0 Bm(λ) Bn(λ) dλ = (−1)^m (m+1)(n+1) ∑(j=0 to m) (m choose j) B_{n+j}.