[논문 리뷰] Some Fractional Calculus results associated with the $I$-Function

Kuldeep Kumar Kataria, P. Vellaisamy|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 25.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 마리셰브-사이고-메이다(MSM) 연산자를 사용하여 일반화된 $I$-함수를 포함하는 분수적 미적분학 결과를 유도한다. 이는 사이고 및 에르데리-코버 연산자를 일반화한다. 적용된 결과로, $I$-함수의 거듭제곱 곱에 캐프토 유형의 MSM 분수 미분을 적용하면 차수가 증가한 다른 $I$-함수로 이어지며, 기존 문헌에서 알려진 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

The effect of Marichev-Saigo-Maeda (MSM) fractional operators involving third Appell function on the $I$ function is studied. It is shown that the order of the $I$-function increases on application of these operators to the power multiple of the $I$-function. The Caputo-type MSM fractional derivatives are introduced and studied for the $I$-function. As special cases, the corresponding assertions for Saigo and Erdélyi-Kober fractional operators are also presented. The results obtained in this paper generalize several known results obtained recently in the literature.

연구 동기 및 목표

• MSM 연산자를 사용하여 가장 일반적인 특수함수인 $I$-함수로 분수적 미적분학 결과를 확장하기 위해.
• 거듭제곱 곱에 대한 캐프토 유형의 MSM 분수 미분의 작용을 조사하기 위해.
• 이 연산자의 적용이 $I$-함수의 차수를 증가시킨다는 것을 보여주기 위해.
• 최근의 $H$-, $ar{H}$-, Meijer G-함수에 관한 결과들을 하나의 프레임워크로 통합하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• $I$-함수는 복소수 매개변수를 가진 멜린-바른스 유형의 경로 적분으로 표현된다.
• 세 번째 아펠 함수 $F_3$를 커널로 사용하여, $t^{- ho}I^{m,n}_{p,q}(at^{- u})$에 대해 MSM 분수 적분 및 미분 연산자를 적용한다.
• 캐프토 유형의 MSM 분수 미분은 역 MSM 적분 연산자와의 복합으로 정의된다.
• 결과로 얻어진 표현은 멜린 변환 기법과 감마 함수의 성질을 사용하여 평가된다.
• 최종 결과는 경로 적분과 잔여치 분석을 통해 유도된 수정된 매개변수를 가진 새로운 $I$-함수로 표현된다.
• 특수한 경우는 특정 매개변수를 설정하여 사이고 및 에르데리-코버 연산자를 복원함으로써 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마리셰브-사이고-메이다 분수 연산자가 $I$-함수의 거듭제곱 곱에 적용되었을 때 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 $I$-함수의 캐프토 유형 MSM 분수 미분의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 일반화된 $I$-함수는 MSM 분수 연산 하에서 유지될 수 있는가? 만약 그렇다면, 그 매개변수는 어떻게 변환되는가?
• RQ4 유도된 결과는 사이고 및 에르데리-코버 분수 연산자에 대한 기존 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 분수 미분 이후 결과로 얻어진 $I$-함수의 수렴성과 해석성 보장 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 거시적 캐프토 유형의 오른쪽 MSM 분수 미분 $t^{- ho}I^{m,n}_{p,q}(at^{- u})$는 매개변수가 수정된 $I^{m,n+3}_{p+3,q+3}$ 차수의 새로운 $I$-함수를 생성한다.
• 결과로 얻어진 $I$-함수의 매개변수 수가 증가하여 더 높은 차수의 일반화를 반영한다.
• 결과는 수렴 조건 하에서 해석성을 확인하는 멜린-바른스 적분 표현을 통해 닫힌 형태로 표현된다.
• 특수한 경우는 특정 매개변수를 설정하여 기존의 사이고 및 에르데리-코버 분수 연산자 결과를 복원한다.
• 유도된 공식은 이전의 $H$-, $ar{H}$-, Meijer G-함수에 관한 결과를 일반화하며, 이들을 $I$-함수 프레임워크 아래 통합한다.
• 결과로 얻어진 $I$-함수의 매개변수 이동은 원래 매개변수와 분수 차수에 대해 명시적으로 기술된다.