[논문 리뷰] Some Fractional Functional Inequalities and Applications to Some Constrained Minimization Problems Involving a Local Non-linearity

Hichem Hajaiej|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 07.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분수기수 함수 부등식을 수립하며, 분수기수 폴리아-지에고 부등식과 분수기수 가르갈리아르도-니레버그 부등식을 포함한다. 이러한 결과들은 분수기수 소볼레프 공간에서 레바그 공간으로의 컴팩트 임베딩을 증명하는 데 응용된다. 이러한 결과들은 국소 비선형성을 포함하는 제약 최소화 문제에서 에너지 함수의 유계성과 약한 하부연속성을 확보함으로써 최소화자 존재성을 보장한다. 대칭 감소 재배열을 통한 분석을 통해 실현 가능하다.

ABSTRACT

In this paper we prove the Fractional Gagliardo-Nirenberg Inequality, Polya-Szego Inequality and the Sharp Fractional Sobolev Inequality, we then provide an application of such inequalities in a constraiend variational problem involving the fractional gradient and alocal non-linearity

연구 동기 및 목표

• 대칭 감소 재배열이 $ s \to 0 $ 일 때 분수기수 에너지를 감소시킴을 보여주는 분수기수 폴리아-지에고 부등식 수립.
• 임베딩 및 컴팩트니스 결과의 핵심 도구로 사용되는 분수기수 가르갈리아르도-니레버그 부등식 유도.
• 분수기수 부등식을 통한 $ W^{s,p}(\rr^n) $ 에서 $ L^q(\rr^n) $ 로의 컴팩트 임베딩 증명.
• $ L^2 $-노름을 고정한 $ H^s(\rr^n) $ 내 국소 비선형성을 포함하는 제약 최소화 문제 분석.
• 대칭 감소 재배열과 약한 하부연속성에 기반해 최소화자 존재성 입증.

제안 방법

• 푸리에 변환과 베셀 커널 표현을 사용하여 분수기수 폴리아-지에고 부등식 증명. 대칭 재배열 하에서 $ \norm{\nabla_s u^*}_{L^2} \to \norm{\nabla_s u}_{L^2} $ 를 보임.
• 주파수 영역에서 재배열된 함수와 원래 함수를 비교하기 위해 전개식 $ (1 - (1+|\rho|^2)^{-1})^s = 1 - \text{양의 급수} $ 활용.
• [3,9]의 대칭화 보조정리 적용으로 $ \norm{G_{2k} * (u^* \tilde{u}^*)}_{L^1} \to \norm{G_{2k} * (u \tilde{u})}_{L^1} $ 를 보임. 이는 에너지 감소를 의미함.
• 보간과 스케일링을 통해 분수기수 가르갈리아르도-니레버그 부등식 유도. 지수는 $ \theta(1/p - s/n) + (1-\theta)/r = 1/q $ 를 만족함.
• 에너지 함수의 비선형 항을 제어하기 위해 불등식 $ \norm{u}_{L^{l+2}}^2 \to K' c^{4s/n} \norm{\nabla_s u}_{L^2}^2 $ 활용.
• 약한 하부연속성과 레플리히-콘드라코프 컴팩트니스를 적용하여 $ H^s(\rr^n) $ 내 최소화 수열의 수렴성 입증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수기수 폴리아-지에고 부등식은 $ 0 < s \to 1 $ 에서도 성립하는가? 즉, 대칭 감소 재배열이 분수기수 에너지를 감소시키는가?
• RQ2 분수기수 가르갈리아르도-니레버그 부등식은 $ 0 < s < n $ 에서 최적의 형태로 도출될 수 있는가? 이때 $ p, q, r, \theta $ 에 대한 명시적 의존성이 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 $ W^{s,p}(\rr^n) \to L^q(\rr^n) $ 임베딩이 컴팩트한가? 특히 $ p=2 $ 이고 $ q > 2 $ 인 경우에 대해.
• RQ4 고정된 $ L^2 $-노름과 국소 비선형성을 포함하는 제약 최소화 문제에서 $ H^s(\rr^n) $ 내 최소화자가 존재하는가?
• RQ5 $ l > 4s/n $ 일 때, $ I_c = -\infty $ 가 되는临계 지수 $ l $ 는 무엇이며, $ I_c > -\infty $ 가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 분수기수 폴리아-지에고 부등식이 성립함: $ \norm{\nabla_s u^*}_{L^2}^2 \to \norm{\nabla_s u}_{L^2}^2 $, $ s=0 $ 에서 등호 성립. 재배열 하에서 에너지 감소를 증명함.
• 지수 $ \theta(1/p - s/n) + (1-\theta)/r = 1/q $ 를 만족하는 분수기수 가르갈리아르도-니레버그 부등식이 수립됨. $ 1 < p < n/s $, $ 0 < s < n $ 에 대해 유효함.
• Gargliardo-Nirenberg 관계를 만족하고 $ p < n/s $ 일 때, Rellich-Kondrachov 정리에 의해 $ W^{s,p}(\rr^n) \to L^q(\rr^n) $ 임베딩은 컴팩트함.
• $ l \to 4s/n $ 일 때, 에너지 함수 $ E(u) $ 는 아래로 유계이며, 모든 최소화 수열은 $ H^s(\rr^n) $ 내에서 유계. 조건 $ c < (1/(2KK'))^{n/(4s)} $ 를 만족할 것.
• 에너지와 $ L^2 $-노름이 재배열에 대해 불변이며, 약한 하부연속성에 기반해 최소화자로 슈바르츠 대칭 최소화자가 존재함.
• $ l > 4s/n $ 일 때, 최소값 $ I_c = -\infty $ 가 되어, 아래로 유계가 아니므로 최소화자가 존재하지 않음.