[논문 리뷰] Some functional inequalities for the fractional p-sub-Laplacian

Aidyn Kassymov, Durvudkhan Suragan|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 동차 리 군 위에서 분수 $p$-하나라프시안에 대한 분수 소볼레프, 하디, 리아푸노프 유형 부등식을 수립하며, 고전적 부등식을 부분 리만 기하학적 설정으로 일반화한다. 주요 기여는 도메인의 내부 준반경과 하르 측도에 따라 분수 $p$-하나라프시안의 첫 번째 고유값에 대한 날카운 하한을 유도한 것으로, 가중치 노름 추정과 보간 기법을 통해 도출된다.

ABSTRACT

In this paper we study the fractional Dirichlet p-sub-Laplacian in a Haar measurable set on homogeneous Lie groups. We prove fractional Sobolev and Hardy inequalities and we also present a Lyapunov-type inequality for the fractional p-sub-Laplacian. As a consequence of the Lyapunov-type inequality we show an estimate of the first eigenvalue in a quasi-ball for the Dirichlet fractional p-sub-Laplacian.

연구 동기 및 목표

• 고전적 분수 소볼레프 및 하디 부등식을 비유클리드 기하학적 성질을 가진 동차 리 군의 부분 리만 기하학적 설정으로 확장하기.
• 디리클레 경계 조건을 가진 분수 $p$-하나라프시안에 대한 리아푸노프 유형 부등식 유도하기.
• 기하학적 및 해석적 성질을 활용하여 준구형 내에서 분수 $p$-하나라프시안의 첫 번째 고유값 추정하기.
• 동차 차원 $Q$를 가진 비유클리드 설정인 동차 군으로의 가중치가 있는 및 없는 함수 부등식을 일반화하기.

제안 방법

• 동차 리 군 $\mathbb{G}$ 위에서 동차 준노름 $q$를 포함하는 특이 적분을 통해 분수 $p$-하나라프시안 정의하기.
• 가중치 $\omega$의 $L^\theta$ 노름과 가중치가 있는 $L^p$ 노름을 가우글라르드 준노름 $[u]_{s,p,q}$와 연결하기 위해 철저히 선택된 지수 $\alpha$와 $\theta$를 사용한 헬더 부등식 적용하기.
• 소볼레프 임베딩 정리(정리 2.5)와 하디 유형 부등식(정리 2.9)을 적용하여 $L^{p^*}$ 노름을 준노름에 따라 추정하기.
• 비자명한 약한 해가 존재한다고 가정하고 내부 준반경 $r_{\Omega,q}$를 사용하여 $\omega$의 $L^\theta$ 노름을 아래로부터 추정함으로써 리아푸노프 유형 부등식 유도하기.
• 리아푸노프 부등식에 $\omega = \lambda$를 대입하고 $\theta > Q/(sp)$에 대해 최적화함으로써 첫 번째 고유값 추정 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유클리드 기하학적 성질을 가진 동차 리 군 설정에서 고전적 분수 소볼레프 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 동차 군에서 $p$-하나라프시안에 대한 분수 하디 부등식의 날카운 형태는 무엇인가?
• RQ3 유계 도메인에서 분수 $p$-하나라프시안에 대한 리아푸노프 유형 부등식을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ4 기하학적 및 해석적 도구를 사용하여 분수 $p$-하나라프시안의 첫 번째 고유값에 대해 어떤 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 도메인의 내부 준반경과 하르 측도는 분수 $p$-하나라프시안의 첫 번째 고유값에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 동차 리 군에서 분수 소볼레프 부등식을 증명하며, 이 정수는 동차 차원 $Q$, $p$, $s$에 따라 달라진다.
• $p$-하나라프시안에 대한 분수 하디 부등식이 수립되어 고전 결과가 부분 리만 기하학적 설정으로 확장된다.
• 리아푸노프 유형 부등식이 도출됨: $\|\omega\|_{L^\theta(\Omega)} \geq \frac{C}{r_{\Omega,q}^{sp - Q/\theta}}$ for $\theta > Q/(sp)$, 여기서 $C$는 $Q$, $p$, $s$, $q$에 따라 달라진다.
• 디리클레 분수 $p$-하나라프시안의 첫 번째 고유값 $\lambda_1$는 $\lambda_1 \geq \sup_{Q/(sp)<\theta<\infty} \frac{C}{|\Omega|^{1/\theta} r_{\Omega,q}^{sp - Q/\theta}}$ 를 만족한다.
• 이 추정은 하르 측도 $|\Omega|$와 내부 준반경 $r_{\Omega,q}$에 의존하며, 더 작은 도메인 또는 더 큰 반경은 $\lambda_1$에 대해 더 강한 하한을 제공함을 보여준다.
• 기하학적(반경) 및 측도론적(체적) 특성을 모두 반영함으로써 기존의 고유값 추정을 더욱 날카롭게 개선한다.