[논문 리뷰] Some generalizations and unifications of $C_{K}(X)$, $C_{\psi}(X)$ and $C_{\infty}(X)$

Ali Taherifar|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 21.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 완전정규 하우스도르프 공간 $X$ 상에서 개방 필터 기저 $P$ 를 사용하여 $C_K(X)$, $C_\psi(X)$, 및 $C_\infty(X)$ 를 일반화하고 통합한다. $C_P(X)$ 와 $C^\infty_P(X)$ 를 도입함으로써, $C^\infty_P(X)$ 가 이상, z-이상, 또는 정규환인 경우의 조건을 규명하고, $P$ 와 관련된 필터 $F$ 의 위상적 성질을 통해 본질적 이상과 자유 이상을 특성화한다. 주요 기여는 링 이론적 성질과 필터 및 위상적 구조 사이의 통합적 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Let $\cal{P}$ be an open filter base for a filter $\cal{F}$ on $X$. We denote by $C^{\cal{P}}(X)$ ($C_{\infty\cal{P}}(X)$) the set of all functions $f\in C(X)$ where $Z(f)$ ($\{x: |f(x)|< \frac{1}{n}\})$ contains an element of $\cal{P}$. First, we observe that every proper subrings in the sense of Acharyya and Ghosh (Topology Proc. 2010) has such form and vice versa. After wards, we generalize some well known theorems about $C_{K}(X), C_{\psi}(X)$ and $C_{\infty}(X)$ for $C^{\cal{P}}(X)$ and $C_{\infty\cal{P}}(X)$. We observe that $C_{\infty\cal{P}}(X)$ may not be an ideal of $C(X)$. It is shown that $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is an ideal of $C(X)$ and for each $F\in\cal{F}$, $X\setminus \overline{F}$ is bounded \ifif the set of non-cluster points of the filter $\cal{F}$ is bounded. By this result, we investigate topological spaces for which $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is an ideal of $C(X)$ whenever $\cal{P}$=$\{A\subsetneq X$: $A$ is open and $X\setminus A$ is bounded $\}$ (resp., $\cal{P}$=$\{A\subsetneq X$: $X\setminus A$ is finite $\}$). Moreover, we prove that $C^{\cal{P}}(X)$ is an essential (resp., free) ideal \ifif the set $\{V:$ $V$ is open and $X\setminus V\in\mathcal{F}\}$ is a $\pi$-base for $X$ (resp., $\mathcal{F}$ has no cluster point). Finally, the filter $\cal{F}$ for which $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is a regular ring (resp., $z$-ideal) is characterized.

연구 동기 및 목표

• 필터 기저를 사용하여 $C_K(X)$, $C_\psi(X)$, 및 $C_\infty(X)$ 를 일반화하고 통합한다.
• $C^\infty_P(X)$ 가 $C(X)$ 의 이상이 되는 조건을 필터 $F$ 의 비집합점의 유계성에 따라 특성화한다.
• 필터 $F$ 의 위상적 성질을 사용하여 $C_P(X)$ 와 $C^\infty_P(X)$ 가 본질적, 자유, 또는 z-이상이 되는 조건을 규명한다.
• $C^\infty_P(X)$ 가 본드만의 정의에 따라 정규환인 경우를 특성화한다.

제안 방법

• $C_P(X)$ 는 $Z(f)$ 가 개방 필터 기저 $P$ 의 원소를 포함하는 모든 $f \in C(X)$ 의 집합으로 정의한다.
• $C^\infty_P(X)$ 는 각 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\{x : |f(x)| < 1/n\}$ 이 $P$ 의 원소를 포함하는 모든 $f \in C(X)$ 의 집합으로 정의한다.
• $P$ 에 의해 생성된 관련 필터 $F$ 를 사용하여 링 이론적 성질과 공간 $X$ 의 위상적 성질을 연결한다.
• $F$-CG$\delta$ 집합을, $X \setminus A_i$ 와 $A_{i+1}$ 이 완전히 분리되어 있고 $A_i \in F$ 인 개방 집합 $A_i$ 의 가산 교집합으로 정의한다.
• $C_P(X)$ 가 z-이상이며 $C^\infty_P(X)$ 가 $C(X)$ 의 진부분환임을 증명한다.
• $\pi$-기저와 집합점의 성질을 사용하여 본질적 이상과 $C^\infty_P(X)$ 의 정규성 특성화

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $C^\infty_P(X)$ 가 $C(X)$ 의 이상이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $C_P(X)$ 가 본질적 이상이 되는 조건는 무엇이며, 이는 $X$ 의 개방 집합의 $\pi$-기저이자 여집합이 $F$ 에 속하는 집합과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $C^\infty_P(X)$ 가 z-이상이 되는 조건는 무엇이며, 이는 $F$-CG$\delta$ 집합에 대한 어떤 위상적 조건에 의해 보장되는가?
• RQ4 $C^\infty_P(X)$ 가 정규환인 경우는 언제이며, 이는 닫힌 $F$-CG$\delta$ 집합의 개방성과 $F$ 에 속하는지 여부에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 $C_P(X)$ 와 $C^\infty_P(X)$ 의 성질은 필터 $F$ 의 집합점 존재성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $C^\infty_P(X)$ 는 $C(X)$ 의 이상이 되는 것과 동치이며, 필터 $F$ 의 비집합점의 집합이 유계일 때이다.
• $C^\infty_P(X)$ 가 $C(X)$ 의 이상이 되고 $X \setminus F$ 가 모든 $F \in F$ 에 대해 유계일 때, $F$ 의 비집합점의 집합이 유계임과 동치이다.
• $C_P(X)$ 는 $\{V : V \text{ 개방}, X \setminus V \in F\}$ 가 $X$ 의 $\pi$-기저를 이룰 때에만 본질적 이상이 된다.
• $C_P(X)$ 는 필터 $F$ 가 집합점이 없을 때에만 자유 이상이 된다.
• $C^\infty_P(X)$ 는 모든 코제로집합이 닫힌 $F$-CG$\delta$ 집합을 포함하면 $F$ 의 원소가 되는 경우에만 z-이상이 된다.
• $C^\infty_P(X)$ 는 모든 닫힌 $F$-CG$\delta$ 집합이 개방이면서 $F$ 에 속할 때에만 정규환이다.