[논문 리뷰] Some Hermite-Hadamard Type Inequalities For Harmonically $(s,m)$-convex functions in Second Sense

Imran Abbas Baloch, İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 24.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 번째 의미에서 조화적 (s,m)-볼록 함수를 도입하고, 하이퍼기하함수를 포함한 적분 표현과 헬더 부등식을 사용하여 이러한 함수에 대한 새로운 헤르마이트-하다마르드 유형 적분 부등식을 수립한다. 주요 기여는 이전의 조화적 s-볼록 및 (s,m)-볼록 함수에 대한 결과를 통합하고 일반화하는 일반화된 부등식을 제시하는 것으로, 특수한 경우로 이스킨, 채인, 우의 알려진 정리들을 복원한다.

ABSTRACT

Authors introduce the concept of harmonically $(s,m)$-convex functions in second sense in \cite{II}.In this article, we establish some Hermite-Hadamard type inequalities of this class of functions.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 의미에서 조화적 (s,m)-볼록 함수의 개념을 도입하고 체계화한다.
• 기존의 헤르마이트-하다마르드 유형 부등식을 이러한 더 넓은 함수 클래스로 확장한다.
• 이전의 조화적 s-볼록 및 (s,m)-볼록 함수에 대한 결과를 통합하고 일반화한다.
• 고차수 볼록성을 이용하여 함수 값의 평균과 적분 평균의 차이에 대한 날카운 경계를 도출한다.
• 특정 s 및 m 값으로 설정함으로써 기존에 알려진 정리를 특수한 경우로 복원한다.

제안 방법

• t ∈ [0,1], s ∈ (0,1], m ∈ (0,1] 에 대해 f(xy/(tx + (1-t)y)) ≤ t^s f(y) + m(1-t)^s f(x) 를 만족하는 조화적 (s,m)-볼록 함수를 정의한다.
• 함수의 도함수를 포함하는 가중치 적분으로 평균값과 적분 평균의 차이를 표현하는 보조정리를 사용한다.
• 헬더 부등식을 적용하여 |f′|^q 의 (s,m)-볼록성에 기반해 도함수 항의 L1노름을 유계로 제한한다.
• 유도된 적분을 하이퍼기하함수 _2F_1 과 베타함수 β 로 표현한다.
• 두 가지 주요 부등식을 유도한다: q ≥ 1 에서는 멱평균을, q > 1 에서는 쌍대지수 p 를 사용한다.
• s=1 또는 m=1 으로 설정할 경우 결과가 이전 연구(예: 이스킨, 채인 & 우)의 정리로 축소됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 의미에서 조화적 볼록성의 개념은 어떻게 s-볼록성과 m-볼록성을 동시에 포함하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 |f′|^q 가 조화적으로 (s,m)-볼록일 경우 어떤 새로운 헤르마이트-하다마르드 유형 부등식이 도출되는가?
• RQ3 새로운 부등식은 기존 문헌의 결과와 어떻게 관련되어 있고 일반화되는가?
• RQ4 하이퍼기하함수와 베타함수의 역할은 날카운 경계 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 새로운 부등식은 특정한 경우로 설정함으로써 이전에 확립된 정리를 특수한 경우로 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 두 번째 의미에서 조화적 (s,m)-볼록 함수에 대해 q ≥ 1 인 경우에 대해 새로운 헤르마이트-하다마르드 유형 부등식을 수립한다.
• 이 경계는 하이퍼기하함수 _2F_1 과 베타함수를 포함하며, s, q, a, b 에 따라 달라지는 계수 ρ₁(s,q;a,b) 와 ρ₂(s,q;a,b) 를 포함한다.
• m=1 인 경우 부등식은 채인과 우의 정리 1.7로 축소되며, 이는 이전 연구와의 일관성을 확인한다.
• s=1 인 경우 부등식은 이스킨의 정리 1.3로 축소되며, 그 결과가 그의 정리의 일반화임을 보여준다.
• s=1 이고 m=1 인 경우 부등식은 이스킨의 정리 1.4로 복원되며, 이는 기존 결과의 완전한 통합을 보여준다.
• q > 1 인 두 번째 주요 부등식은 쌍대지수 p 를 사용하며, ν₁(s,q;a,b) 와 ν₂(s,q;a,b) 를 포함한다. 이들은 베타함수와 하이퍼기하함수를 통해 표현된다.