[논문 리뷰] Some hypergeometric summation theorems and reduction formulas via Laplace transform method

M. I. Qureshi, Showkat Ahmad Dar|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 17.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 라플라스 변환 방법을 사용하여 일반화된 초함수 ${}_{3}F_{2}(/pm 1)$, ${}_{4}F_{3}(1)$, ${}_{6}F_{5}(/pm 1)$, ${}_{7}F_{6}(/pm 1)$, 및 ${ }_{8}F_{7}(/pm 1)$에 대한 새로운 초함수 합성정리와 환원 공식을 유도한다. 이는 일반화된 하이퍼볼릭 적분의 해석적 해를 이들 함수로 표현함으로써 이루어지며, 엄밀한 수렴 조건과 함께 새로운 폐쇄형 결과를 도출하고 기존의 합성 항등식을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we obtain analytical solutions of Laplace transform based some generalized class of the hyperbolic integrals in terms of hypergeometric functions ${}_3F_2 (\pm1)$, ${}_4F_3 (\pm1)$, ${}_5F_4(\pm1)$, ${}_6F_5(\pm1)$, ${}_7F_6(\pm1)$ and ${}_8F_7(\pm1)$ with suitable convergence conditions, by using some algebraic properties of Pochhammer symbols. In addition, reduction formulas for ${}_4F_3(1)$, ${}_7F_6(-1)$ and some new summation theorems (not recorded earlier in the literature of hypergeometric functions) for ${}_3F_2(-1)$, ${}_6F_5(\pm1)$, ${}_7F_6(\pm1)$ and ${}_8F_7(\pm1)$ are obtained.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 하이퍼볼릭 적분의 해석적 해를 라플라스 변환 방법을 통해 유도하기.
• 기존 문헌에 기록되지 않은 ${}_{3}F_2(-1)$, ${}_{6}F_5(/pm 1)$, ${}_{7}F_6(/pm 1)$, 및 ${ }_{8}F_7(/pm 1)$에 대한 새로운 합성정리를 도출하기.
• 포흐하머 기호의 대수적 성질을 이용하여 ${}_{4}F_3(1)$ 및 ${}_{7}F_6(-1)$에 대한 환원 공식을 수립하기.
• 하이퍼볼릭 함수의 몫의 정적분을 명시적인 수렴 기준과 함께 일반화된 초함수로 표현하기.
• 라플라스 변환 기법과 하이퍼볼릭 함수의 곱 항등식을 통합하여 초함수 이론에서 알려진 결과를 확장하기.

제안 방법

• 일반화된 하이퍼볼릭 적분에 라플라스 변환을 적용하여 $p, q$가 최대 8인 ${}_{p}F_q(/pm 1)$ 형태의 초함수로 표현하기.
• 포흐하머 기호 $(\bullet)_n$의 대수적 항등식을 사용하여 초함수 급수를 변형하고 단순화하기.
• 불완전 베타 함수 $B_z(\bullet,\bullet)$를 포함하는 연속 함수 관계 및 적분 표현을 활용하여 재귀형 항등식 유도하기.
• 하이퍼볼릭 함수의 곱 공식(예: $\tanh$, $\tanh$, $\tanh$)을 적용하여 피적분함수를 라플라스 변환 평가에 적합한 형태로 변환하기.
• 딕슨 정리와 같은 기존의 합성정리를 매개변수 치환 및 함수 변환을 통해 확장하기.
• 특히 $\text{Re}(b) > 0$ 및 $\text{Re}(b \times \text{sign}(\bullet) \times \text{sum}) > 0$ 조건을 통해 매개변수의 실수부를 검토함으로써 수렴 조건 검증하기, 해석성 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라플라스 변환 기법을 $\tanh$, $\tanh$, $\tanh$ 함수의 몫을 포함하는 일반화된 하이퍼볼릭 적분에 체계적으로 적용할 수 있는가?
• RQ2 포흐하머 기호의 대수적 변환을 통해 ${}_{3}F_2(-1)$, ${}_{6}F_5(/pm 1)$, ${}_{7}F_6(/pm 1)$, 및 ${ }_{8}F_7(/pm 1)$에 대한 새로운 합성정리를 유도할 수 있는가?
• RQ3 연속 함수 관계 및 적분 항등식을 이용하여 ${}_{4}F_3(1)$ 및 ${}_{7}F_6(-1)$에 대한 환원 공식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 다음과 같은 형태의 적분에 대해 초함수 표현이 유효해지는 정확한 수렴 조건은 무엇인가? $\frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh(cx)}$ 및 유사한 형태.
• RQ5 라플라스 변환과 초함수 항등식을 활용하여 하이퍼볼릭 함수의 곱을 포함하는 정적분의 새로운 폐쇄형 평가를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 적분 $\bigint_{0}^{\infty} \frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh(cx)} \, dx$ 는 $\text{Re}(b) > 0$ 및 $\text{Re}(b \times \text{sign}(\bullet) \times \text{sum}) > 0$ 조건 하에서 감마 함수의 조합과 ${}_{7}F_6(1)$ 초함수로 평가된다.
• 동일한 적분 $\bigint_{0}^{\infty} \frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh(cx)} \, dx$ 는 매개변수에 $\frac{1}{2} \times (\text{sign}(\bullet) \times \text{radical})$ 가 포함된 ${}_{8}F_7(-1)$ 함수로도 표현되며, $\text{Re}(b) > 0$ 및 $\text{Re}(b \times \text{sign}(\bullet) \times \text{sum}) > 0$ 조건으로 수렴이 보장된다.
• 새로운 ${}_{3}F_2(-1)$ 합성정리 유도: ${}_{3}F_2\big(\begin{smallmatrix}a, 1+\frac{a}{2}, b \\ \frac{a}{2}, 1+a-b \\ ot\text{end}\right) = \frac{\text{B}(\frac{1+a}{2}, 1+a-b)}{\text{B}(\frac{1+a}{2}-b, 1+a)}$ for $\text{Re}(b) < \frac{1}{2}$.
• ${}_{4}F_3(1)$ 및 ${}_{7}F_6(-1)$에 대한 환원 공식을 얻었으며, 매개변수 변환과 연속 관계를 통해 알려진 결과를 확장하였다.
• 예를 들어 $\bigint_{0}^{\infty} \frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh(cx)} \, dx$ 와 같은 적분의 새로운 폐쇄형 평가가 삼각함수 및 하이퍼볼릭 함수, 예를 들어 $\frac{\tan(\frac{\theta}{2}) + \tan(\frac{\theta'}{2})}{4b}$ 형태로 표현되었으며, 지정된 수렴 도메인 하에서 유효하다.
• 이 논문은 $\frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh^v(cx)}$ 를 포함하는 적분이 $\text{Re}(v) < 2$ 또는 $\text{Re}(v) < 1$ 조건에 따라 감마 함수와 ${}_{p}F_q(\text{argument})$ 함수로 평가될 수 있음을 규명하였다.