[논문 리뷰] Some identities involving degenerate r-Stirling numbers

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 17.

Advanced Mathematical Identities인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 역관계를 활용하여 제1종 및 제2종 탈중립 r-스털링 수 사이의 새로운 항등식을 유도한다. 생성함수와 수직성 관계를 이용하여 저자들은 이러한 탈중립 특수 수와 r에서의 완전 탈중립 베르누이, 두 변수 Fubini, 오일러, 다중 베르누이 다항식의 평가 간의 명시적 연결을 수립한다.

ABSTRACT

Recently, authors studied the unsigned degenerate r-Stirling number of the first kind and the degenerate r-Stirling number of the second kind, respectively of which are the degenerate versions of the unsigned r-Stirling numbers of the first kind and those of the r-Stirling numbers of the second kind. The aim of this paper is to derive some identities involving such special numbers from the inverse relations for them.

연구 동기 및 목표

• 제1종 및 제2종 탈중립 r-스털링 수를 포함하는 새로운 항등식을 도출하는 것.
• 탈중립 r-스털링 수와 r에서의 특수 다항식 평가 간의 관계를 탐색하는 것.
• 기존의 탈중립 스톨링 수에 대한 역관계를 탈중립 r-스털링 수의 경우로 확장하는 것.
• 제1종 및 제2종 탈중립 r-스털링 수의 부호 없는 형태 간의 수직성 및 역관계를 수립하는 것.
• 이 관계를 활용하여 완전 탈중립 베르누이, Fubini, 오일러, 다중 베르누이 다항식의 항등식을 유도하는 것.

제안 방법

• 탈중립 하강 계승과 탈중립 지수 생성함수를 이용하여 탈중립 r-스털링 수를 정의한다.
• 제1종 탈중립 r-스털링 수의 부호 없는 형태와 제2종 탈중립 r-스털링 수 간의 수직성 관계를 수립한다.
• 생성함수 기법을 적용하여 수직성 관계로부터 역관계를 도출한다.
• 이 역관계를 활용하여 특수 다항식—완전 탈중립 베르누이, 두 변수 Fubini, 오일러, 다중 베르누이 다항식—을 매개변수 r에서 평가한다.
• 탈중립 지수 함수의 복합 역함수인 탈중립 로그를 사용하여 생성함수를 조작한다.
• 탈중립 다중로그 및 탈중립 로그 급수를 포함하는 생성함수 항등식을 활용하여 계수 기반 항등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제1종 및 제2종 탈중립 r-스털링 수 간의 역관계는 어떻게 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ2 이러한 역관계를 r에서의 특수 다항식 평가에 적용했을 때 도출되는 항등식은 무엇인가?
• RQ3 탈중립 r-스털링 수는 완전 탈중립 베르누이, Fubini, 오일러, 다중 베르누이 다항식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 탈중립 생성함수와 로그는 이러한 특수 수 체계를 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 탈중립 r-스털링 수의 수직성은 다항식 평가에 대한 닫힌 형태의 항등식을 유도하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 생성함수의 수직성에 기반하여 ${n+r \brack k+r}_{r,\theta}$와 ${n+r \brace k+r}_{r,\theta}$ 간의 역관계가 수립된다.
• 탈중립 오일러 다항식과 탈중립 r-스털링 수를 연결하는 항등식 $\frac{n!}{2^n} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n+r \brack k+r}_{r,\theta} \mathcal{E}_{k,\theta}(r)$ 가 도출된다.
• 탈중립 다중 베르누이 다항식의 경우, 항등식 $\frac{(-\lambda)^n (1)_{n+1,1/\lambda}}{(n+1)^p} = \sum_{k=0}^{n} {n+r \brack k+r}_{r,\theta} \beta_{k,\theta}^{(p)}(-r)$ 가 증명된다.
• 탈중립 초조화수 $H_{n,\theta}^{(r)}$ 는 $-\frac{1}{(1-t)^r} \log_{\theta}(1-t) = \sum_{n=1}^\infty H_{n,\theta}^{(r)} t^n$ 을 만족한다.
• 탈중립 두 번째 종류의 베르누이 다항식과 초조화수 사이의 항등식이 유도된다: $\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} b_{k,\theta}(r) H_{n-k,\theta}^{(r)} = \delta_{n,1}$.
• 탈중립 두 변수 Fubini 다항식의 $x = -\frac{1}{2}$ 에서의 평가는 $\mathcal{E}_{n,\theta}(r) = \sum_{k=0}^{n} \left(-\frac{1}{2}\right)^k k! {n+r \brace k+r}_{r,\theta}$ 를 유도한다.