[논문 리뷰] Some improvements of numerical radius inequalities of operators and operator matrices

Pintu Bhunia, Kallol Paul|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 15.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 21인용 수 54

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 연산자와 n×n 연산자 행렬의 수치적 반지름에 대한 새로운 상한 및 하한을 제시한다. 이는 [0, ∞)에서의 비음수 연속 함수를 사용한다. 파워-영 및 마크카시의 부등식을 도입하여 정밀한 추정을 제공함으로써 기존의 부등식을 일반화하고 개선하며, 대각 연산자 행렬에 대해 B-수치 반지름으로 결과를 확장하여 이전 연구보다 더 날카운 상한을 제공한다. 주요 기여는 이전 추정을 개선하고 Alomari(2018)의 결과를 일반화하는 매개변수화된 날카운 상한 w_p(XY)를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We obtain upper bounds for the numerical radius of a product of Hilbert space operators which improve on the existing upper bounds. We generalize the numerical radius inequalities of $n imes n$ operator matrices by using non-negative continuous functions on $[0,\infty)$. We also obtain some upper and lower bounds for the $B$-numerical radius of operator matrices, where $B$ is the diagonal operator matrix whose each diagonal entry is a positive operator $A.$ We show that these bounds generalize and improve on the existing bounds.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간에서 유계 선형 연산자 두 개의 곱에 대한 기존 상한을 개선하는 것.
• 비음수 연속 함수를 사용하여 n×n 연산자 행렬에 대한 수치 반지름 부등식을 일반화하는 것.
• 양의 연산자로 이루어진 대각 행렬 B일 때, n×n 연산자 행렬의 B-수치 반지름에 대한 새로운 상한 및 하한을 설정하는 것.
• Alomari(2018)와 Abu-Omar 및 Kittaneh의 최근 연구를 수정하고 확장하는 것.
• A-수반, A-노름, 연산자의 스펙트럼 성질을 사용하여 더 날카운 일반화된 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• |X|Y = Y*|X|라는 조건 하에 파워-영 부등식을 사용하여 w_p(XY)에 대한 새로운 상한을 유도한다.
• McCarthy 부등식을 적용하여 연산자 함수의 L^p 노름과 그 수치 반지름을 연결한다.
• A-수치 반지름 w_A(T)와 A-자기수반 연산자를 사용하여 반-힐버트 공간으로 일반화된 상한을 유도한다.
• f(t)g(t) = t를 만족하는 비음수 연속 함수 f, g를 통한 변환을 도입하여 추정을 정밀화한다.
• 수치 반지름에 대한 비음수 행렬에 관한 보조정리 4.14를 적용하여 2×2 연산자 행렬에 대한 상한을 도출한다.
• A-내적의 분해 항등식을 사용하여 w_A(Y♯A X)에 대한 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 알려진 것보다 힐버트 공간 연산자 두 개의 곱에 대한 수치 반지름에 대해 더 날카운 상한을 유도할 수 있는가?
• RQ2 [0, ∞)에서의 연속 함수를 사용하여 n×n 연산자 행렬에 대한 수치 반지름 부등식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 B가 양의 연산자로 이루어진 대각 행렬일 때, n×n 연산자 행렬의 B-수치 반지름에 대한 개선된 상한 및 하한은 무엇인가?
• RQ4 새로운 상한은 Alomari(2018) 및 Abu-Omar와 Kittaneh의 결과와 비교하여 어떻게 다른가?
• RQ5 A-수치 반지름 프레임워크를 사용하여 연산자 곱과 행렬에 대해 더 날카운 부등식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• f(t)g(t) = t와 파워-영 부등식을 포함한 매개변수화된 부등식을 사용하여 w_p(XY)에 대한 새로운 상한을 확립하였다. 이는 기존 추정을 개선한다.
• α = β = 2 및 p = 1인 경우, 상한은 w(XY) ≤ r(Y) w⎛⎜⎝O f²(|X|) g²(|X*|) O⎞⎟⎠로 줄어들며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• n×n 연산자 행렬 T의 B-수치 반지름은 w_B(T) ≤ w(T')를 만족한다. 여기서 T'은 대각선에 w_A(T_ii)를, 비대각선에 ||T_ij||_A를 가진 실수 행렬이다.
• 더 날카운 상한 w_B(T) ≤ w(T'')가 유도되었으며, 여기서 비대각선 항목이 w_C(O T_ij T_ji O)로 대체되어 이전 상한을 초월한다.
• w_B(T) ≥ 1/2 √(||T₁₂T♯A₁₂ + T♯A₂₁T₂₁||_A + 2m_A(T₂₁T₁₂))로 하한이 확립되었으며, 이는 비자명한 반대 추정을 제공한다.
• w_A(Y♯A X) ≤ 1/4 ||XX♯A + YY♯A||_A + 1/2 w_A(XY♯A)라는 부등식이 증명되었으며, 이는 A = I일 때 [21, Th. 2.10]의 결과를 일반화하고 날카럽게 개선한다.