[논문 리뷰] Some inequalities on $h$-convex functions

Malek Abbasi, Ali Morassaei외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 28.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 7인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 선형 공간 내의 볼록 집합에서 $h$-볼록 함수를 도입하고 특성화하며, 제논-머서 부등식을 $h$-볼록 함수로 확장하고 힐버트 공간에서의 연산자 형태를 확립한다. 또한 $h$-볼록 함수에 대해 제논 부등식의 보완 부등식을 유도하여, $h$ 및 $f$에 대한 특정 함수 조건 하에서 연산자 단조성과 볼록성에 의해 경계를 제공한다. 주요 기여는 고전적 부등식을 $h$-볼록 프레임워크로 일반화하고 명시적인 연산자 이론적 표현을 제공하는 데 있다.

ABSTRACT

In this paper, we state some characterizations of $h$-convex function is defined on a convex set in a linear space. By doing so, we extend the Jensen-Mercer inequality for $h$-convex function. We will also define $h$-convex function for operators on a Hilbert space and present the operator version of the Jensen-Mercer inequality. Lastly, we propound the complementary inequality of Jensen's inequality for $h$-convex functions.

연구 동기 및 목표

• 선형 공간 내 볼록 집합에서 함수 부등식을 사용하여 $h$-볼록 함수를 특성화하는 것.
• 제논-머서 부등식을 $h$-볼록 함수로 확장하여 볼록 함수 및 $s$-볼록 함수에 대한 고전적 결과를 일반화하는 것.
• 힐버트 공간에서 유계 선형 연산자에 대한 맥락에서 $h$-볼록 함수를 정의하고 분석하는 것.
• 제논 부등식에 대한 보완 부등식을 $h$-볼록 함수에 대해 수립하고, 연산자 이론적 경계를 제공하는 것.

제안 방법

• 모든 $t \in [0,1]$ 에 대해 $f(tx + (1-t)y) \leq h(t)f(x) + h(1-t)f(y)$ 를 만족하는 부등식을 통해 $h$-볼록 함수를 정의한다.
• 전역적 $h$-볼록성은 $[0,1]$ 에서의 $h$-볼록성으로 축소하기 위해 $f_{x,y}(t) = f(tx + (1-t)y)$ 라는 사상 사용.
• 연산자 볼록 함수와 정규화된 양의 선형 매핑 $\Phi$ 에 대해 데이비스-취-제논의 부등식 적용.
• $h$-볼록성과 연산자 단조성에 기반하여 제논-머서 부등식의 연산자 형태 유도.
• $\mu_h, \nu_h, \mu_f, \nu_f$ 와 스펙트럼 경계 $m, M$ 을 포함하는 최대 기능 표현을 통해 경계 수립.
• $\alpha g$ 에 대한 볼록성과 미분 가능성 가정을 통해 보완 부등식의 날카운 상한 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 공간 내 볼록 집합에서 정의된 $h$-볼록 함수에 대해 제논-머서 부등식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 함수 $f$ 가 힐버트 공간에서 $h$-볼록일 경우 제논-머서 부등식의 연산자 형태는 무엇인가?
• RQ3 $h$-볼록성과 볼록성에 기반하여 제논 부등식의 보완 부등식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 $h$-볼록 함수와 정규화된 양의 선형 매핑을 포함하는 연산자 부등식에 대해 가장 날카로운 경계는 무엇인가?
• RQ5 $h$ 및 $f$ 에 대해 보완 부등식이 나머지 항에 대해 명시적인 표현을 도출할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 제논-머서 부등식이 $h$-볼록 함수로 확장되었으며, 모든 $t \in [0,1]$ 에 대해 $f(tx + (1-t)y) \leq h(t)f(x) + h(1-t)f(y)$ 라는 경계가 성립한다.
• 힐버트 공간에서 $h$-볼록 함수에 대해 정규화된 양의 선형 매핑과 연산자 볼록성에 기반한 제논-머서 부등식의 연산자 형태가 확립되었다.
• 제논 부등식에 대한 보완 부등식이 도출되었으며, $\sum_{j=1}^{n} h(t_j)\Phi_j(f(A_j)) \leq \alpha g(\sum t_j \Phi_j(A_j)) + \beta I_{\mathcal{K}}$ 를 만족하며, $\beta$ 는 $\mu_h, \mu_f, \nu_h, \nu_f$ 와 스펙트럼 경계에 의해 명시적으로 결정된다.
• 엄격하게 볼록하고 미분 가능한 $\alpha g$ 에 대해 나머지 항 $\beta$ 는 $s \in \{m, M\}$ 에 대해 $\mu_h f(s) - \alpha g(s) + |\mu_h \mu_f - \alpha g'(s)|(M - m) + \nu_h(f(m) + f(M))$ 로 경계된다.
• 만일 $\alpha g$ 가 오목일 경우, 최대 나머지 $\beta$ 는 경계점 $m$ 또는 $M$ 에서 도달하며, $\beta = \max_{s \in \{m,M\}} \{ \mu_h f(s) + \nu_h(f(m) + f(M)) - \alpha g(s) \}$ 라는 표현을 갖는다.
• 두 번 미분 가능하고 엄격하게 $h$-볼록인 $f$ 에 대해 나머지 $\beta$ 는 $\mu_h \mu_f t_0 + \mu_h \nu_f + \nu_h(f(m) + f(M)) - \alpha f(t_0)$ 로 명시적으로 계산되며, $t_0$ 는 역미분 조건에 의해 결정된다.