[논문 리뷰] Some $L_{p}$-estimates for elliptic and parabolic operators with measurable coefficients

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 22.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가측성 계수를 가진 2차 타원형 및 포아송형 미분방정식에 대해 $L_p$-추정을 수립하며, 2차 도함수에 대한 하올더 유형의 경계와 $L_p$ 공간에서의 해소자 연산자 추정을 증명한다. 완전 비선형 방정식에서 사용되는 핵심 결과들에 대해 엄밀한 증명을 제공하며, 크릴로프-사포노프 이론과 확률적 방법에 기반한다. VMO 계수와 $L_q$-드리프트 조건에 대한 적용이 포함되어 있다.

ABSTRACT

We consider linear elliptic and parabolic equations with measurable coefficients and prove two types of $L_{p}$-estimates for their solutions, which were recently used in the theory of fully nonlinear elliptic and parabolic second order equations in \cite{DKL}. The first type is an estimate of the $γ$th norm of the second-order derivatives, where $γ\in(0,1)$, and the second type deals with estimates of the resolvent operators in $L_{p}$ when the first-order coefficients are summable to an appropriate power.

연구 동기 및 목표

• 가측성 계수를 가진 2차 타원형 및 포아송형 연산자에 대해 $L_p$-추정을 수립하는 것, 특히 완전 비선형 방정식의 맥락에서.
• 이전 문헌에서 증명 없이 인용된 바 있는 $|D^2u|^\gamma$에 대한 $L_p$-추정($\gamma \in (0,1)$)에 대한 완전한 증명을 제공하는 것.
• 드리프트 계수 $L_q$ 조건을 만족하는 연산자에 대해 $L_p$ 공간에서 균일한 해소자 추정을 유도하는 것.
• 해소자 연산자 $R_\mu = (\mu - L)^{-1}$와 관련된 추정을 일반화하고 엄밀히 증명하는 것. 이때 $\mu$에 대해 독립적인 경계를 확보하는 것.
• 주요 결과를 뒷받침하는 새로운 비정상적인 추정, 예를 들어 보조정리 1.6와 그 확률적 대응 정리 3.1를 제시하는 것.

제안 방법

• 해소자 연산자 $R_\mu$의 $L_d$-노름을 제어하기 위해 최대원리와 알렉산드로프 추정을 적용한다.
• 모이피케이션 기법과 $\lambda$-볼록 함수 $\psi_\lambda$를 사용하여 $L\psi^\varepsilon_\lambda - \mu\psi^\varepsilon_\lambda \leq -f^\varepsilon + (|b|\sqrt{\lambda} + \lambda\,{\rm tr}\,a - \mu)\psi^\varepsilon_\lambda$를 만족하는 하위해를 구성함으로써 노름 추정을 가능하게 한다.
• 마르친키에비치 보간 정리를 적용하여 $p = d$에서의 $L_p$-추정을 일반 $p \geq d$로 확장함으로써 균일한 경계를 확보한다.
• 파투의 보조정리를 적용하고 근사화 기법을 사용하여 부드러운 데이터에서 일반적인 $L_p$ 데이터로의 전환을 수행함으로써 노름 부등식을 유지한다.
• 해소자 연산자의 $L_1$-노름 추정을 도출하기 위해 직업 측도와 기본 해를 포함한 확률적 대응을 활용하며, $\mu$-의존성의 이분법적 행동이 필수적임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가측성 계수를 가진 타원형 및 포아송형 연산자에 대해 $\gamma \in (0,1)$일 때 $|D^2u|^\gamma$에 대한 $L_p$-추정이 엄밀히 수립될 수 있는가? 특히 $b$와 $c$가 유계일 경우에 대해.
• RQ2 드리프트 계수 $b$에 어떤 조건이 성립하면, 큰 $\mu$에 대해 $\|R_\mu g\|_{L_p} \leq N\|g\|_{L_p}$ 형태의 균일한 해소자 추정이 성립하는가?
• RQ3 드리프트 계수 $b \in L_q$이고 $q \leq p$일 때, $L_p$-노름 $\|R_\mu = (\mu - L)^{-1}\|_{L_p \to L_p}$가 $\mu$에 대해 균일하게 유계일 수 있는가?
• RQ4 해소자 추정의 상수 $N$이 매개변수 $\delta$, $K$, $d$, $\mu$에 대해 정확히 어떻게 의존하는가?
• RQ5 해소자 노름의 $\mu$-의존성에서 나타나는 이분법적 행동이 피할 수 없는가? 이는 포아송형 방정식의 해 존재성에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 모든 $L \in \mathfrak{L}_{\delta,K}$에 대해, $\delta$, $K$, $d$에만 의존하는 상수 $\gamma \in (0,1]$과 $N$이 존재하여 $\int_{C_{1,1}(1,0)} |D^2u|^\gamma \,dxdt \leq N\left(\int_{C_{2,1}} |Lu|^{d+1} \,dxdt\right)^{\gamma/(d+1)} + N\sup_{\partial'C_{2,1}} |u|^\gamma$를 만족함으로써, 2차 도함수의 하올더 연속성을 증명한다.
• $p = d$일 때, $\mu \geq K\lambda + \mu_\theta\lambda^{1/2}$이면 해소자 노름이 $\|R_\mu\|_{L_d \to L_d} \leq N\lambda^{-1}$를 만족하며, $\theta$는 $N'\theta \leq 1/2$를 만족하도록 선택함으로써 균일한 유계성을 확보한다.
• 모든 비음수 $f \in L_d$에 대해 $\|R_\mu f\|_{L_d} \leq N\lambda^{-1}\|f\|_{L_d}$가 성립하며, 하위해 구성과 최대원리에 의해 도출된다.
• 일반적인 $p \geq d$에 대해, 마르친키에비치 보간 정리를 통해 $L_p$-경계가 $\|R_\mu g\|_{L_p} \leq N\|g\|_{L_p}$로 확장되며, 이때 $N$은 큰 $\mu$에 대해 $\mu$에 독립적이다. 이는 $b \in L_q$이고 $q \leq p$일 때 성립한다.
• 원점에 근거한 기본 해의 $L_1$-노름은 $1/\nu^2 = [\sqrt{M^2 + 4\mu} + M]^2 / (4\mu^2)$로 주어지며, 이는 해소자 노름이 $\mu$에 대해 균일하게 유계일 수 없음을 보여주며, 이분법적 의존성의 필요성을 시사한다.
• 해소자 노름의 $\mu$-의존성에서 나타나는 이분법적 행동은 피할 수 없으며, 이는 코로나리 5.5의 형태와 일치함으로써 추정의 정확성을 확인한다.