[논문 리뷰] Some Liouville Theorems for the p-Laplacian

Isabeau Birindelli, Demengel, F.|arXiv (Cornell University)|2001. 06. 27.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$에서 $h(x) \sim a|x|^\gamma$인 경우 비음수 약한 해에 대한 $p$-라플라스 부등식 $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$에 대해 날카로운 리우빌 정리들을 수립한다. $p-1 < q \leq \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ 이며 $\gamma > -p$ 이면 $N > p$ 일 때 $u \equiv 0$ 이고, $N \leq p$ 일 때 유계하나 아래로 바라보는 해는 상수임을 증명한다. 이는 전통적인 결과를 거듭제곱형 가중치를 가진 비선형 $p$-라플라스 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We present several Liouville type results for the $p$-Laplacian in $\R^N$. Suppose that $h$ is a nonnegative regular function such that $$ h(x) = a|x|^γ { m for}\ |x|\ { m large},\ a&gt;0\ { m and}\ γ&gt; -p. $$ We obtain the following non -existence result: 1) Suppose that $N&gt;p&gt;1$, and $u\in W^{1,p}_{loc} (\R^N)\cap {\cal C} (\R^N)$ is a nonnegative weak solution of $ - { m div} (| abla u|^{p-2 } abla u) \geq h(x) u^q \;\;\mbox{in }\; \R^N $ . Suppose that $p-1&lt; q\leq {(N+γ)(p-1)\over N-p}$ then $u\equiv 0$. 2) Let $N\leq p$. If $u\in W^{1,p}_{loc} (\R^N)\cap {\cal C} (\R^N)$ is a weak solution bounded below of $-{ m div} (| abla u|^{p-2 } abla u)\geq 0$ in $\R^N$ then $u$ is constant. 3) Let $N&gt;p$ if $u$ is bounded from below and $-{ m div} (| abla u|^{p-2 } abla u)=0$ in $\R^N$ then $u$ is constant. 4)If $ -Δ_p u+h(x) u^q\leq 0, $. If $q&gt; p-1$, then $u\equiv 0$.

연구 동기 및 목표

• 해당 부등식 $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ 에 대해 $\mathbb{R}^N$ 에서 음수 아닌 약한 해에 대한 비존재 결과(리우빌 정리)를 수립하기.
• 비자명한 해가 존재할 수 있는 지점 이상의 지수 $q$ 의 최적 기준을 결정하기.
• 기존의 라플라스 연산자($p=2$)에 대한 리우빌 결과를 일반 $p$-라플라스 연산자로 확장하기.
• 가중치 $h(x)$ 의 성장률 $\gamma$ 가 해의 행동에 미치는 영향 분석하기.
• 유계인 $p$-조화 함수가 $\mathbb{R}^N$ 에서 상수임을 증명함으로써 주요 정리들의 기초를 다지기.

제안 방법

• 에너지 추정과 약한 형태의 부등식을 국소화하기 위해 링형 영역에 지지된 가중치를 가진 절단 함수 $\zeta$ 의 사용.
• 적분 추정에서 $\nabla\zeta$ 와 $u$ 를 포함하는 저차항을 제어하기 위해 헬더 부등식의 적용.
• 에너지 및 역 피앙카레 유형 부등식을 통한 $|\nabla u|$ 의 $L^p$-노름 추정 유도.
• $L^p$-노름의 성장률을 제어하기 위해 재귀 부등식을 만족하는 반복 수열 $\phi_n$ 의 구성.
• 에너지 추정에서 항들을 균형 잡기 위해 얀의 부등식을 사용하고 $R \to \infty$ 일 때의 감쇠를 이끌어내어 $u \equiv 0$ 을 유도하기.
• 초기 $q$ 의 범위를 초월하여 비존재 결과를 확장하기 위해 $u^\alpha$ 를 통한 반복적 스케일링의 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해 $h(x) \sim a|x|^\gamma$ 인 경우 $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ 가 비자명한 음수 아닌 약한 해를 가지지 않는 데 필요한 $q$ 의 날카로운 기준은 무엇인가요?
• RQ2 가중치 $h(x)$ 의 성장률 $\gamma$ 는 해의 존재 또는 비존재에 어떤 영향을 미치나요?
• RQ3 $p=2$ 일 때의 비존재 결과가 동일한 임계 지수 조건 하에서 $p \neq 2$ 인 $p$-라플라스 연산자로 확장될 수 있나요?
• RQ4 $\gamma > -p$ 는 비존재 결과에 대해 최적이며, $\gamma \leq -p$ 일 때는 어떠한 일이 일어나나요?
• RQ5 $\mathbb{R}^N$ 에서 $p$-조화 함수가 유계이면 상수가 되는가, 그리고 이는 에너지 추정을 통해 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $N > p > 1$ 과 $\gamma > -p$ 에 대해, $p-1 < q \leq \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ 이면, $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ 의 음수 아닌 약한 해 $u$ 는 식별적으로 0이어야 한다.
• $N \leq p$ 일 때, $-\Delta_p u \geq 0$ 을 만족하는 약한 해 중에서 아래로 유계인 $u$ 는 반드시 상수여야 한다.
• $q = \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ 는 날카로운 기준이다: 임의의 $q > \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ 에 대해 비자명한 음수 아닌 해가 존재한다.
• $-\Delta_p u = |x|^\gamma u^q$ 에 대해, 반사대칭 해는 $p-1 < q < \frac{(N+\gamma)(p-1)+p+\gamma}{N-p}$ 이고 $\gamma \geq 0$ 일 때 식별적으로 0이 되며, 반사 대칭 하에서 완전한 비존재를 암시한다.
• $\gamma > -p$ 는 최적이며, $\gamma \leq -p$ 일 때는 드라베크가 보여준 바와 같이 비자명한 $p$-조화 함수가 존재할 수 있다.
• $-\Delta_p u + h(x)u^q \leq 0$ 이고 $q > p-1$ 이면, $q$ 에 상한이 없더라도 반복적 스케일링을 통해 $u^\alpha$ 를 사용하여 $u \equiv 0$ 이다.