[논문 리뷰] Some local properties of subsolutons and supersolutions for a doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equation

Agnid Banerjee, Prashanta Garain외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p>2$인 이중 비선형 비국소 파라볼릭 $p$-라플라스 방정식에 대한 약한 하위해와 양의 약한 초하위해에 대해 국소 유계성과 역 헬더 부등식을 확립한다. 에너지 추정과 파라볼릭 비국소 디오르기 방법을 사용하여, 저자들은 국소 유계성, 새로운 대수적 부등식을 통한 역 헬더 부등식, 그리고 로그 감쇠 추정을 증명하며, 비국소 이중 비선형 설정에서의 향후 약한 하르낙 부등식 결과를 위한 기초를 마련한다.

ABSTRACT

We establish a local boundedness estimate for weak subsolutions to a doubly nonlinear parabolic fractional $p$-Laplace equation. Our argument relies on energy estimates and a parabolic nonlocal version of De Giorgi's method. Furthermore, by means of a new algebraic inequality, we show that positive weak supersolutions satisfy a reverse Hölder inequality. Finally, we also prove a logarithmic decay estimate for positive supersolutions.

연구 동기 및 목표

• 문헌에서 아직 탐색되지 않은 이중 비선형 비국소 파라볼릭 $p$-라플라스 방정식에 대한 정규성 이론을 개발하기 위해.
• 에너지 추정을 사용하여 $p>2$인 방정식 $\partial_t(u^{p-1}) + \mathcal{L}u = 0$에 대한 약한 하위해에 대해 국소 유계성 추정을 확립하기 위해.
• 새로운 대수적 부등식을 사용하여 엄격히 양의 약한 초하위해에 대해 역 헬더 부등식을 증명하기 위해.
• 에너지 및 반복 기법을 통해 양의 초하위해에 대해 로그 감쇠 추정을 유도하여, 향후 약한 하르낙 부등식 결과에 기여하기 위해.
• 전통적인 디오르기 유형 방법을 비국소, 이중 비선형 파라볼릭 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 국소 영역에서 하위해의 성장률을 제어하기 위해 에너지 추정을 활용한다.
• 약한 하위해의 국소 유계성을 증명하기 위해 파라볼릭 비국소 디오르기 방법의 변형을 적용한다.
• Felsinger와 Kassmann의 결과를 $p=2$에서 $p>2$로 일반화하는 새로운 대수적 부등식(보조정리 2.9)을 도입한다.
• 새로운 부등식을 사용하여 양의 약한 초하위해에 대해 역 헬더 부등식을 확립한다.
• 에너지 및 반복 기법을 통해 양의 초하위해에 대한 로그 감쇠 추정을 유도한다.
• 대칭 커널 $K(x,y,t)$가 허들 조건을 만족하는 분수 슈바르츠 공간 $W^{s,p}$의 프레임워크 내에서 작업한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 비선형 비국소 파라볼릭 $p$-라플라스 방정식에 대해 $p>2$인 약한 하위해에 대해 국소 유계성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 비국소, 이중 비선형 설정에서 양의 약한 초하위해는 역 헬더 부등식을 만족하는가?
• RQ3 이 비국소 방정식에 대해 양의 초하위해에 대해 로그 감쇠 추정을 증명할 수 있는가?
• RQ4 이중 비선형 파라볼릭 방정식에 적용 가능한 비국소 디오르기 방법의 해석은 존재하는가?
• RQ5 새로운 대수적 부등식은 $p=2$의 경우를 초월하여 정규성 결과를 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• 에너지 추정과 비국소 파라볼릭 디오르기 방법을 사용하여 약한 하위해에 대해 국소 유계성 추정을 확립하였다.
• 새로운 대수적 부등식을 통해 양의 약한 초하위해에 대해 역 헬더 부등식을 증명하였으며, 이는 $p=2$의 경우를 일반화한다.
• 에너지 및 반복 기법을 통해 양의 초하위해에 대해 로그 감쇠 추정을 도출하였으며, 이는 공간-시간 영역에서 느린 감쇠 행동을 시사한다.
• 새로운 대수적 부등식(보조정리 2.9)은 역 헬더 성질을 증명하는 데 필수적이며, $p>2$에서도 성립하여 이전의 $p=2$ 결과를 확장한다.
• 결과들은 아직 미해결 문제로 남아 있는 비국소 이중 비선형 설정에서의 약한 하르낙 부등식 연구를 위한 기초 도구를 제공한다.
• 분수 $p$-라플라스 연산자와 대칭 커널 $K(x,y,t)$를 고려한 분석을 수행하였으며, $\Lambda^{-1}|x-y|^{-(n+ps)} \leq K(x,y,t) \leq \Lambda|x-y|^{-(n+ps)}$를 만족한다.