[논문 리뷰] Some model theory and topological dynamics of p-adic algebraic groups

Davide Penazzi, Anand Pillay외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 25.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모델 이론과 위상적 동역학의 시각에서 p진 대수적 군—특히 SL(2,ℚₚ)—의 연구를 시작하며, ℚₚ 위의 유형 공간 위에서의 그들의 작용을 분석한다. 주요 기여는 SL(2,ℚₚ)의 엘리스 군이 프로프initely 정수 ℤ̂임을 증명하는 것으로, G = G⁰⁰ = G⁰⁰⁰임에도 불구하고 무한 엘리스 군을 지닌 뉴엘스키의 추측에 대한 반례를 제공한다.

ABSTRACT

We initiate the study of p-adic algebraic groups G from the stability-theoretic and definable topological-dynamical points of view, that is, we consider invariants of the action of G on its space of types over Q_p in the language of fields. We consider the additive and multiplicative groups of Q_p and Z_p, the group of upper triangular invertible 2 imes 2 matrices, SL(2,Z_p), and, our main focus, SL(2,Q_p). In all cases we identify f-generic types (when they exist), minimal subflows, and idempotents. Among the main results is that the ``Ellis group" of SL(2,Q_p)$ is the profinite completion of Z, yielding a counterexample to Newelski's conjecture with new features: G = G^{00} = G^{000} but the Ellis group is infinite. A final section deals with the action of SL(2,Q_p) on the type-space of the projective line over Q_p.

연구 동기 및 목표

• 실수에서 p진 대수적 군으로의 위상적 동역학 및 안정성 이론적 방법의 확장.
• p진 체 위에서 SL(2,ℚₚ) 및 관련 군의 정의 가능 위상적 동역학 분석.
• p진 군의 유형 공간 동역학에서 f-일반 유형, 최소 부분유량, 및 멱등원 식별.
• SL(2,ℚₚ)의 엘리스 군과 그 정의 가능 컴actification과의 관계 조사.
• SL(2,ℚₚ)의 ℚₚ 위의 사영선에 대한 작용 분석을 통해 최소성과 가까운 관계 성립

제안 방법

• B는 보렐 부분군이고 SL(2,ℤₚ)는 극대 컴 pact 부분군인 SL(2,ℚₚ)의 아이와사와 분해 B(ℚₚ) ⋅ SL(2,ℤₚ)를 활용.
• ℚₚ 위의 덧셈군과 곱셈군의 유형 공간에서 f-일반 유형과 최소 부분유량을 분류하기 위해 모델 이론적 도구 적용.
• SL(2,ℚₚ)의 유일한 최소 정의 가능 유량을 B(ℚₚ)와 SL(2,ℤₚ)의 최소 부분유량의 곱의 폐쇄로 구성.
• 유형 공간 S_G(ℚₚ)에 존재하는 캐논컬 세미군 구조 *를 활용해 동역학 분석 및 엘리스 군 계산.
• 비대수적 유형과 그 궤도를 연구함으로써 ℙ¹(ℚₚ) 위에서의 SL(2,ℚₚ)의 작용 분석.
• 가중치 이론적 기법(예: v(a) < ℤ, v(ab² + bc) < ℤ)을 사용해 군 작용 하에서의 유형 행동 규명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SL(2,ℚₚ)와 같은 p진 대수적 군의 유형 공간 동역학에서 f-일반 유형과 최소 부분유량은 무엇인가?
• RQ2 SL(2,ℚₚ)의 엘리스 군은 그 정의 가능 보르 컴actification과 어떻게 관련되어 있으며, 뉴엘스키의 추측을 위반하는가?
• RQ3 ℙ¹(ℚₚ) 위의 비대수적 유형 공간은 SL(2,ℚₚ)-유량으로서 최소성과 가까운 관계를 가지는가?
• RQ4 SL(2,ℚₚ)의 유일한 최소 정의 가능 유량은 B(ℚₚ)와 SL(2,ℤₚ)의 최소 부분유량의 곱의 폐쇄로 기술될 수 있는가?
• RQ5 SL(2,ℚₚ)의 ℙ¹(ℚₚ)의 비대수적 유형 위에서의 작용은 강한 가까운 관계를 가지는가?

주요 결과

• SL(2,ℚₚ)의 유일한 최소 정의 가능 유량은 SL(2,ℤₚ)의 최소 부분유량과 B(ℚₚ)의 최소 부분유량의 곱의 폐쇄이다.
• SL(2,ℚₚ)의 엘리스 군은 프로프initely 정수 ℤ̂와 동형이며, 이는 무한 군이다.
• G = G⁰⁰ = G⁰⁰⁰임에도 불구하고 엘리스 군이 무한하므로, 뉴엘스키의 추측에 대한 새로운 반례를 제공한다.
• ℙ¹(ℚₚ) 위의 비대수적 유형 공간은 최소성과 가까운 관계를 가지는 SL(2,ℚₚ)-유량이다.
• ℙ¹(ℚₚ)에 대한 작용의 유일한 최소 부분유량은 특정 유형의 궤도의 폐쇄이며, 이는 ℙ¹(ℚₚ)의 임의의 점 주변의 모든 비대수적 유형을 포함한다.
• SL(2,ℚₚ)의 ℙ¹(ℚₚ)의 비대수적 유형 위에서의 작용은 최소성과 가까운 관계를 가지며, 이는 유일한 최소 강한 가까운 관계 정의 가능 유량일 가능성이 있다.