[논문 리뷰] Some natural subspaces and quotient spaces of $L^1$

Gilles Godefroy, Nicolás Lerner|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 20.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 0이 되는 리프시츠 함수들의 공간 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$이 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$의 쌍대공간과等距同형임을 증명한다. 여기서 $N$은 발산이 0인 벡터장들의 부분공간이다. 비록 몫공간이 약한 순서완전성을 지님에도 불구하고, $N$은 '좋은 위치'에 있지 않다—그의 단위구는 국소적 측도 수렴에 대한 위상에서 닫혀 있지 않다. 이는 $L^1$ 부분공간의 구조에서 핵심적인 장애물임을 드러낸다.

ABSTRACT

We show that the space $ ext{Lip}_0(\mathbb R^n)$ is the dual space of $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})/N$ where $N$ is the subspace of $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})$ consisting of vector fields whose divergence vanishes. We prove that although the quotient space $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})/N$ is weakly sequentially complete, the subspace $N$ is not nicely placed - in other words, its unit ball is not closed for the topology $τ_m$ of local convergence in measure. We prove that if $Ω$ is a bounded open star-shaped subset of $\mathbb {R}^n$ and $X$ is a closed subspace of $L^1(Ω)$ consisting of continuous functions, then the unit ball of $X$ is compact for the compact-open topology on $Ω$. It follows in particular that such spaces $X$, when they have Grothendieck's approximation property, have unconditional finite-dimensional decompositions and are isomorphic to weak*-closed subspaces of $l^1$. Numerous examples are provided where such results apply.

연구 동기 및 목표

• 모든 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$의 전쌍공간을 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$의 몫공간으로 특성화하는 것.
• 연속된 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 내에서 발산이 0인 벡터장들의 부분공간 $N$이 '좋은 위치'에 있는지—즉, 국소적 측도 수렴 위상 $\tau_m$에서 그의 단위구가 닫혀 있는지 여부를 조사하는 것.
• 유계 별형 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$에서 연속 함수들로 이루어진 닫힌 부분공간 $X \subset L^1(\Omega)$의 구조적 성질을 규명하는 것. 특히 척도변환 연산자에 관하여 불변인 경우를 중심으로 한다.
• 그러한 부분공간이 그로텐디크의 근사성질을 갖는 경우의 결과를 탐색하며, 이는 $\ell^1$의 강한*-닫힌 부분공간과의 동형사상으로 이어진다.

제안 방법

• 닫힌 미분형식과 분포적 적분을 이용한 드 라무의 정리 응용을 통해 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$을 $L^\infty(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$의 닫힌 부분공간으로 표현하고, 그의 여집합을 발산이 0인 벡터장들의 공간 $N$으로 식별한다.
• $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$과 $L^\infty(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 사이의 쌍대성 관계를 적용하여 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$이 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$의 등거리 쌍대공간임을 보인다.
• 별형 도메인에서 척도변환 연산자 $T_\rho$를 활용하여, 척도변환에 관하여 불변인 부분공간 $X \subset L^1(\Omega)$의 구조를 분석한다.
• 국소적 측도 수렴 위상 $\tau_m$을 사용하여 컴팩트성과 닫힘성을 연구하며, 특히 유사한 성질을 지닌 동차 연속 부분공간 $X$의 단위구가 $\tau_m$-콤팩트임을 증명한다.
• 그로텐디크의 근사성질과 동차성에서 무조건성으로 이어지는 원리(즉, 동차성 → 무조건성)를 적용하여, 이러한 공간 $X$가 무조건적인 유한차원 분해를 가짐을 유도한다.
• 일반적으로 알려진 $L^p$-공간들($p > 1$)의 성질을 활용하여 $L^1$의 경우와 대비시켜, 비반사적 공간에서 $\tau_m$-위상의 필요성을 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속된 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 내에서 발산이 0인 벡터장들의 부분공간 $N$은 '좋은 위치'에 있는가? 즉, 국소적 측도 수렴 위상 $\tau_m$에서 그의 단위구가 닫혀 있는가?
• RQ2 몫공간 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$이 약한 순서완전성을 지닌다 해서 $N$이 좋은 위치에 있는지 여부는 무엇이며, 그렇지 않다면 어떤 구조적 결과가 도출되는가?
• RQ3 유계 열린 별형 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$에서 연속 함수들로 이루어진 닫힌 부분공간 $X \subset L^1(\Omega)$에 대해, $X$가 척도변환 연산자 $T_\rho$에 관하여 불변이라면, $X$의 단위구는 $\tau_m$-콤팩트한가?
• RQ4 만약 이러한 공간 $X$가 그로텐디크의 근사성질까지 갖는다면, $X$는 $\ell^1$의 강한*-닫힌 부분공간과 동형인가?
• RQ5 공간 $X$의 단위구에서 척도변환 연산자의 $\tau_m$-연속성을 약화시켜도 단위구의 $\tau_m$-콤팩트성을 확보할 수 있는가, 아니면 완전한 연속성 조건이 필수적인가?

주요 결과

• $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$은 발산이 0인 벡터장들의 닫힌 부분공간인 $N$에 대해, $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$의 쌍대공간과 등거리 동형임을 보였다.
• 비록 몰입공간 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$이 약한 순서완전성을 지니지만, 부분공간 $N$은 '좋은 위치'에 있지 않다—그의 단위구는 국소적 측도 수렴 위상 $\tau_m$에서 닫혀 있지 않다.
• 모든 유계 열린 별형 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$에 대해, 척도변환 연산자에 관하여 불변인 연속 함수들의 닫힌 부분공간 $X \subset L^1(\Omega)$는 $\tau_m$-콤팩트한 단위구를 가진다.
• 만약 이러한 공간 $X$가 그로텐디케의 근사성질까지 갖는다면, $X$는 $\ell^1$의 강한*-닫힌 부분공간과 동형이며, 따라서 무조건적인 유한차원 분해를 가진다.
• 많은 고전적 공간들—예를 들어, 민츠 공간 $M_1(\Lambda)$, 도메인 $\Omega$에서의 이중조화함수 공간, 토러스 위의 특정 하르디 공간들—은 주요 정리의 조건을 만족하며, 따라서 $\ell^1$-관련 공간의 구조적 성질을 물려받는다.
• $L^p$-버전($p > 1$)은 더 단순하다: 유사한 불변성 및 연속성 조건 하에서 이러한 부분공간들은 바나흐-마자르 거리에서 $\ell^p$의 부분공간에 임의로 가까이 있다—근사성질이 필요하지 않다.