[논문 리뷰] Some New Constructions of Quantum MDS Codes

Weijun Fang, Fang‐Wei Fu|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 23.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{F}_{q^2}$ 상의 허미션 안성화 일반화 리드-솔로몬(GRS) 코드를 사용하여 $q$-진 양자 MDS 코드의 여섯 가지 새로운 클래스를 제안하며, 최소 거리가 $\frac{q}{2}+1$를 초과하는 것을 가능하게 한다. 승법 부분군과 그 여유류(여기서 0 원소 포함)로부터 평가 점을 구성함으로써, 이전 작업에 비해 더 긴 코드 길이와 향상된 파라미터를 달성한다.

ABSTRACT

It is an important task to construct quantum maximum-distance-separable (MDS) codes with good parameters. In the present paper, we provide six new classes of q-ary quantum MDS codes by using generalized Reed-Solomon (GRS) codes and Hermitian construction. The minimum distances of our quantum MDS codes can be larger than q/2+1 Three of these six classes of quantum MDS codes have longer lengths than the ones constructed in [1] and [2], hence some of their results can be easily derived from ours via the propagation rule. Moreover, some known quantum MDS codes of specific lengths can be seen as special cases of ours and the minimum distances of some known quantum MDS codes are also improved as well.

연구 동기 및 목표

• 이전에 알려진 바보다 더 큰 최소 거리를 가진 새로운 $q$-진 양자 MDS 코드 가족을 구성하기 위해.
• 평가 점 집합에 0 원소를 포함시켜 기존의 양자 MDS 코드 구성 방법을 확장하기 위해.
• 기존의 $\mathbb{F}_{q^2}^*$의 승법 부분군과 그 여유류 기반 결과를 일반화하기 위해.
• 전파 규칙을 활용하여 알려진 양자 MDS 코드의 길이 및 최소 거리 파라미터를 향상시키기 위해.
• GRS 코드와 허미션 대칭성의 통합 프레임워크를 제공하여 다양한 파라미터를 가진 양자 MDS 코드를 구성하기 위해.

제안 방법

• 승법 부분군 $\mathbb{F}_{q^2}^*$의 원소와 그 여유류, 0 원소를 포함한 평가 점을 선택하여 허미션 안성화 GRS 코드를 구성한다.
• 코드 길이 $n = r \cdot \frac{q^2 - 1}{2s}$를 정의하기 위해 조건 $2s \mid (q+1)$를 사용하며, 여기서 $r = 2t + 1$이다.
• 허미션 구성(보조정리 1)을 적용하여 $C \subseteq C^\perp_H$를 만족하는 $[n,k,n-k+1]_{q^2}$ MDS 코드를 $[[n,n-2k,k+1]]_q$ 양자 MDS 코드로 변환한다.
• 하위행렬의 행렬식이 0이 아님을 확인하여 $\mathbb{F}_q^*$ 상의 동차 방정식계에 비자명한 해가 존재함을 보장한다.
• 전파 규칙(보조정리 2)을 활용하여 더 긴 코드로부터 더 짧고 거리가 낮은 코드를 유도한다.
• 조건 $\langle \mathbf{a}^{qi+j}, \mathbf{v}^{q+1} \rangle = 0$가 $m \mid (qi + j + q + 1)$일 때 성립하도록 하여, 허미션 안성화를 보장한다. 여기서 $m = \frac{q^2 - 1}{2s}$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화 리드-솔로몬 코드를 사용하여 최소 거리가 $\frac{q}{2}+1$를 초과하는 $q$-진 양자 MDS 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 평가 점에 0 원소를 포함시켜 기존의 양자 MDS 코드 구성 방법을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 허미션 안성화 GRS 코드가 $\mathbb{F}_{q^2}$ 상에 존재하기 위한 $r$, $s$, $q$의 파라미터 조건은 무엇인가?
• RQ4 기존의 양자 MDS 코드가 전파 규칙을 통해 새 구성에서 얼마나 많이 유도될 수 있는가?
• RQ5 다양한 파라미터를 가진 코드 길이와 유연성을 높이기 위해 $\mathbb{F}_{q^2}^*$의 승법 부분군의 여유류를 포함시키는 프레임워크를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 여섯 가지 새로운 클래스의 $[[n,n-2k,k+1]]_q$ 양자 MDS 코드가 구성되었으며, $n = r \cdot \frac{q^2 - 1}{2s}$, $r = 2t + 1$이다. 여기서 $2s \mid (q+1)$ 이고 $1 \leq t \leq s-1$이다.
• 모든 구성된 코드에서 최소 거리 $d = k+1$는 $\frac{q}{2}+1$를 초과하며, 이는 이전의 $d \leq \frac{q}{2}+1$ 제약 조건을 초월하는 개선이다.
• $r \geq 4$일 경우, 보조정리 7에서 허용 가능한 최대 $k$ 값이 Zhang과 Ge [1]의 결과를 초월하여 더 큰 최소 거리를 가진 코드를 제공한다.
• [1], [2], [24]에서 알려진 일부 기존의 양자 MDS 코드는 전파 규칙을 통해 제안된 구성의 특수한 경우로 나타난다.
• $r=7$, $s=4$, $8 \mid (q+1)$일 경우, $[[\frac{7}{8}(q^2-1), \frac{7}{8}(q^2-1)-2k, k+1]]_q$ 코드가 $1 \leq k \leq \frac{7}{8}(q+1) - 2$ 범위에서 유도된다.
• 비자명한 해가 존재함이 $(r-2) \times (r-2)$ 소행렬식의 0이 아님을 통해 보장되며, 이는 허미션 안성화를 확보한다.