[논문 리뷰] Some New Exact van der Waerden Numbers

Bruce Landman, Aaron Robertson외 1명|ArXiv.org|2005. 07. 01.

Mathematics and Applications참고 문헌 6인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 혼합 반 데르 와르던 수 $w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$의 새로운 정확한 값들을 제시한다. 여기서 목표는 $[1,n]$의 $r$-색칠이 각 색 $i$에서 단색 $k_i$-항 산술급수를 포함하는 최소 $n$을 찾는 것이다. $k$가 $r$에 대해 충분히 클 경우 $w(k,2,2,\dots,2;r)$에 대한 정확한 공식을 도입하여 기존의 값들을 크게 확장하고, 극한 색칠의 구조적 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

For positive integers $r,k_0,k_1,...,k_{r-1},$ the van der Waerden number $w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$ is the least positive integer $n$ such that whenever $\{1,2,...,n\}$ is partitioned into $r$ sets $S_{0},S_{1},...,S_{r-1}$, there is some $i$ so that $S_i$ contains a $k_i$-term arithmetic progression. We find several new exact values of $w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$. In addition, for the situation in which only one value of $k_i$ differs from 2, we give a precise formula for the van der Waerden function (provided this one value of $k_i$ is not too small)

연구 동기 및 목표

• 이전에 발표된 값들보다 더 넓은 범위의 혼합 반 데르 와르던 수 $w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$의 표를 확장하는 것.
• 각 색 클래스에서 단색 $k_i$-항 산술급수를 피하는 극한 $r$-색칠의 구조를 조사하는 것.
• 모든 $k_i$가 2이거나 하나를 제외한 나머지가 2인 경우에 대해 $k$가 $r$에 대해 충분히 클 때 $w(k,2,2,\dots,2;r)$에 대한 닫힌 형태의 공식을 유도하는 것.
• 장기적인 단색 산술급수의 형성을 방지하는 간격 분할과 색칠 패턴에 대한 조합적 제약 조건을 분석하는 것.

제안 방법

• 저자들은 새로운 정확한 반 데르 와르던 수를 계산하기 위해 '책임자(culprit)' 알고리즘의 수정 버전과 함께 백트래킹 및 기타 검색 기법을 사용한다.
• 색상 $i$에서 단색 $k_i$-항 산술급수를 포함하지 않는 $[1,n-1]$의 최대 길이의 $r$-색칠을 유효한 색칠로 간주하고 분석한다.
• 연속적인 핵심 점 $y_i$ 사이의 간격 $B_i$를 정의하고, $\alpha_i = |B_i|$의 길이를 분석한다.
• 특히 모듈로 산술과 야콥스탈 함수의 성질을 활용한 수론적 제약 조건을 적용하여 장기적인 단색 산술급수의 존재를 배제한다.
• 공식 유도를 위해, 작은 정수 $t$에 대한 $y_{i+1} - y_i$의 분포에 기반한 구조적 추론을 사용하며, 특정 합동 패턴이 피할 수 없는 단색 급수를 유도함을 보인다.
• 주어진 $r$의 첫 $\pi(r)$개 소수로 나누어지는 정수 간의 최대 간격에 관한 줄리아트와 릭헤르트의 결과를 활용하여 경계를 설정하고, 점근적 추정을 적용하여 $j$의 성장을 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 두 개의 $k_i > 2$인 경우, 이전에 알려진 값들 외에 혼합 반 데르 와르던 수 $w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ2 만약 $k$가 $r$에 대해 충분히 크다면 $w(k,2,2,\dots,2;r)$에 대한 일반 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 단색 $k_i$-항 산술급수를 각 색 클래스에서 피하는 $[1,n-1]$의 최대 $r$-색칠의 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ4 연속적인 색 변경 지점 $y_i$ 간의 차이에 대한 모듈로 제약 조건은 단색 산술급수의 존재에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 $w(11,3) = 114$, $w(12,3) = 135$, $w(13,3) = 160$을 확립하여 $k \geq 11$인 $w(k,3)$의 알려진 값들을 확장한다.
• 또한 $w(3,4,4,3) = 89$, $w(3,5,3,3) = 80$, $w(3,6,4,2) = 83$을 증명하여 다수의 $k_i > 2$를 포함하는 혼합 색상 케이스에 대한 새로운 정확한 값을 제공한다.
• 모든 $k_i$가 2이거나 하나를 제외한 나머지가 2인 경우, $w(k,2,2,\dots,2;r)$에 대해 정확한 공식을 도출한다: $k \geq 2r - 3$이면서 특정 모듈로 조건을 만족할 경우 $w(k,\dots,2;r) = kr - r + 2$이다.
• 저자들은 $k \geq \pi(r)^3(r-2)$일 경우, 야콥스탈 함수의 경계와 소인수 분포를 기반으로 $w(k,2,\dots,2;r) = kr - r + 2$ 공식이 성립함을 규명한다.
• 유도된 조건 하에, 길이 $w-1$인 최대 유효 색칠에서 색 블록 길이 $\alpha_i$는 첫 번째와 마지막 블록에서는 정확히 $k-1$이 되고, 내부 블록에서는 $k-j-1$이 되어야 함을 보여준다.
• 논문은 주요 공식 조건의 역도 성립함을 확인한다: 만약 $k$가 $\#r$에 대해 요구되는 모듈로 조건을 만족한다면 공식이 적용되며, 이러한 조건은 공식이 정확한 값을 도출하기 위해 필수적이고 충분함을 입증한다.