[논문 리뷰] Some New Generalized Results on Ostrowski Type Integral Inequalities With Application

Ather Qayyum, Muhammad Shoaib외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 06.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 Cerone와 Dragomir의 결과를 확장하기 위해 새로운 커널을 도입하여 일반화된 오스트로فس키 유형 적분 부등식을 제시한다. 함수가 부분구간 위의 가중치가 부여된 적분 평균의 조합에서 벗어남을 추정하며, 도함수의 $ L_p $-노름에 대해 날카운 경계를 제공한다. 이는 신뢰성 이론에서 누적분포함수에 적용 가능하다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish some new inequalities similar to the Ostrowski's inequalities which are more generalized than the inequalities of Dragomir and Cerone. The current article obtains bounds for the deviation of a function from a combination of integral means over the end intervals covering the entire interval. Some new purterbed results are obtained. Application for cumulative distribution function is also discussed.

연구 동기 및 목표

• 새로운 커널 함수를 도입하여 기존의 오스트로فس키 및 오스트로فس키-그류 유형 부등식을 일반화하기 위해.
• 부분구간에서 함수의 적분 평균의 가중 평균으로부터의 벗어남에 대해 더 날카운 경계를 유도하기 위해.
• Cerone와 Dragomir의 결과를 고차도함수와 $ L_p $-노름을 포함하도록 확장하기 위해.
• 누적분포함수를 사용하여 신뢰성 이론에의 응용을 제공하기 위해.
• $ f'' \in L_p[a,b] $, $ p = 1, \infty, \text{ 및 } p > 1 $일 때 오차 경계의 날카운 상수를 확립하기 위해.

제안 방법

• 구간 $[a,x]$ 및 $[x,b]$에 대해 매개변수 $ \alpha, \beta, h $를 사용하여 정의된 조각별로 나누어진 새로운 페아노 유형 커널 $ p(x,t) $를 도입한다.
• 커널을 사용하여 부분적 적분을 적용하여, 분리 기능 $ \tau(x;\alpha,\beta) $ 를 $ f' $ 및 $ f'' $ 로 표현한다.
• 횔더 부등식을 적용하여, 결과적으로 $ \|f''\|_p $ 에 대해 적분을 경계한다. 여기서 $ p = 1, \infty, \text{ 및 } p > 1 $이다.
• $ \|f''\|_\infty $, $ \|f''\|_p $, 및 $ \|f''\|_1 $ 를 포함하는 오차 경계를 유도하며, 각 경우에 대해 명시적인 표현을 제공한다.
• 결과를 누적분포함수 $ F(x) $ 에 적용하여 기대값과 신뢰성 이론과의 관계를 규명한다.
• $ \beta = 0 $ 와 같은 특수한 경우를 고려하여 기존의 알려진 부등식을 회복하고 일반 프레임워크의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분구간에서의 적분 평균의 가중 조합을 포함하도록 오스트로فس키 유형 부등식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 함수의 가중 평균으로부터의 벗어남에 대한 최적의 경계는 $ \|f''\|_p $ 에 대해 어떻게 되는가?
• RQ3 $ f'' \in L_p[a,b] $, $ p = 1, \infty, \text{ 및 } p > 1 $일 때 오차 경계의 날카운 상수를 유도할 수 있는가?
• RQ4 새로운 부등식은 신뢰성 이론에서 누적분포함수에 어떻게 적용되는가?
• RQ5 새로운 커널이 기존 오스트로فس키 유형 결과의 날카움과 일반성 향상에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 $ \left| \tau(x;\alpha,\beta) \right| $ 를 위한 새로운 부등식을 확립하며, $ \|f'\|_\infty $, $ \|f'\|_p $, 및 $ \|f'\|_1 $ 에 대해 경계를 제공한다. 이는 Cerone의 결과를 일반화한다.
• $ f'' \in L_\infty[a,b] $ 일 때, 경계는 $ \left[ (b-x)\left(\left[x - (a + h\frac{b-a}{2})\right]^3 + (h\frac{b-a}{2})^3\right) - (x-a)\left( (h\frac{b-a}{2})^3 + \left[x - (b - h\frac{b-a}{2})\right]^3 \right) \right] \frac{\|f''\|_\infty}{12} $ 이다.
• $ f'' \in L_p[a,b] $, $ p > 1 $ 일 때, 경계는 횔더 유형의 항을 포함한다: $ \left[ \frac{1}{(x-a)^q} \left( \cdots \right)^{2q+1} + \frac{1}{(b-x)^q} \left( \cdots \right)^{2q+1} \right]^{1/q} \frac{(b-x)(x-a)}{4(2q+1)^{1/q}} \|f''\|_p $.
• $ f'' \in L_1[a,b] $ 일 때, 경계는 절댓값과 선형 항의 합으로 표현되며, 명시적인 계수를 포함한다.
• $ \beta = 0 $ 의 특수한 경우는 새로운 유도 방법을 통해 기존에 알려진 부등식을 회복하며, 일관성을 확인한다.
• 결과는 누적분포함수 $ F(x) $ 에 적용되며, $ F(x) $ 가 $ f(x) $, $ f'(x) $, 및 $ f'(a), f'(b) $ 를 사용하여 근사될 수 있음을 보이며, 오차 경계는 $ \|f''\|_p $ 에 대해 기술된다.