[논문 리뷰] Some numerical radius inequalities for semi-Hilbert space operators

Kais Feki|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 02.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 26인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 A-연산자 준노름과 A-수치반경을 이용하여 준힐버트 공간 연산자에 대한 날카운 수치반경 부등식을 수립한다. 논문은 $rac{1}{4} sum{T^{lat_A}T + TT^{lat_A} sum}_A sum{\leq} sum{ omega_A^2(T) sum} sum{\leq} sum{ frac{1}{2} sum{T^{lat_A}T + TT^{lat_A} sum}_A$ 를 증명하며, 기존의 경계를 크게 개선하고, 특정 연산자 행렬의 $ mathbb{A}$-수치반경을 계산하는 데 응용하여 A-bounded 및 A-normal 연산자 이론을 발전시킨다.

ABSTRACT

Let $A$ be a positive bounded linear operator acting on a complex Hilbert space $\big(\mathcal{H}, \langle \cdot\mid \cdot angle \big)$. Let $ω_A(T)$ and ${\|T\|}_A$ denote the $A$-numerical radius and the $A$-operator seminorm of an operator $T$ acting on the semi-Hilbertian space $\big(\mathcal{H}, {\langle \cdot\mid \cdot angle}_A\big)$ respectively, where ${\langle x\mid y angle}_A := \langle Ax\mid y angle$ for all $x, y\in\mathcal{H}$. In this paper, we show that \begin{equation*}\label{m1} frac{1}{4}\|T^{\sharp_A} T+TT^{\sharp_A}\|_A\le ω_A^2\left(T ight) \le frac{1}{2}\|T^{\sharp_A} T+TT^{\sharp_A}\|_A. \end{equation*} Here $T^{\sharp_A}$ is denoted to be a distinguished $A$-adjoint operator of $T$. Moreover, a considerable improvement of the above inequalities is proved. This allows to compute the $\mathbb{A}$-numerical radius of the operator matrix $\begin{pmatrix} I&T \\ 0&-I \end{pmatrix}$ where $\mathbb{A}= ext{diag}(A,A)$. In addition, several $A$-numerical radius inequalities for semi-Hilbertian space operators are also established.

연구 동기 및 목표

• 준힐버트 공간 연산자에 대한 A-수치반경에 대해 새로운, 더 날카운 경계를 수립하기 위해.
• A-연산자 준노름과 A-수치반경을 포함하는 기존 부등식을 개선하기 위해.
• 개선된 부등식을 사용하여 특정 연산자 행렬 $ begin{pmatrix}I&T\\ 0&-I end{pmatrix}$ 의 $ mathbb{A}$-수치반경을 계산하기 위해.
• 기존의 수치반경 결과를 준힐버트 공간 내에서 양성 연산자와 A-수반의 프레임워크로 확장하기 위해.
• A-프레임워크에서 가환성과 정규성 조건 하에서 A-수치반경의 행동을 조사하기 위해.

제안 방법

• 논문은 양성 연산자 $A$ 에 의해 유도된 준힐버트 공간의 맥락에서 A-수치반경 $ omega_A(T)$ 와 A-연산자 준노름 $ sum{T sum}_A$ 를 도입한다.
• 관계 $AS = T^*A$ 를 통해 $A$-수반 $T^{lat_A}$ 를 정의함으로써 $T \in \mathcal{B}_A(\mathcal{H})$ 가 되도록 보장한다.
• 기본 부등식 $ frac{1}{4} sum{T^{lat_A}T + TT^{lat_A} sum}_A sum{\leq} sum{ omega_A^2(T) sum} sum{\leq} sum{ frac{1}{2} sum{T^{lat_A}T + TT^{lat_A} sum}_A$ 는 $ cal{R}(A^{1/2})$ 상의 유도된 노름의 성질과 연산자 이론을 이용하여 유도된다.
• 논문은 $ cal{H}/ cal{N}(A)$ 와 $ bf{R}(A^{1/2})$ 사이의 표준 등거리 등장사상(이sovolumetric isomorphism)을 사용하여 연산자를 표준 수치반경 결과가 적용 가능한 힐버트 공간으로 옮긴다.
• 가환성과 정규성 조건은 $ bf{R}(A^{1/2})$ 상의 옮겨진 연산자 $ tilde{T}$ 를 통해 분석되며, Fuglede의 정리와 유니터리/등거리 성질을 활용한다.
• 결과는 A-unitary, A-isometric, A-normal 연산자로 확장되며, $ omega_A(TS)$, $ omega_A(S)$, $ sum{T sum}_A$ 를 포함하는 부등식이 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A-연산자 준노름 $ sum{T^{lat_A}T + TT^{lat_A} sum}_A$ 를 바탕으로 A-수치반경 $ omega_A(T)$ 에 대해 더 날카운 경계를 수립할 수 있는가?
• RQ2 블록 연산자 행렬 $ begin{pmatrix}I&T\\ 0&-I end{pmatrix}$ 의 $ mathbb{A}$-수치반경은 $T$ 의 A-수치반경과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 A-normal 연산자에 대해 $ omega_A(TS) \leq \tomega_A(T)\tomega_A(S)$ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 A-unitary 또는 A-isometric 연산자 $U$ 에 대해 $ omega_A(UT) \leq \tomega_A(T)$ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 가환성과 A-수반 호환성은 A-프레임워크에서 곱의 수치반경에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 날카운 이중부등식 $ frac{1}{4} sum{T^{lat_A}T + TT^{lat_A} sum}_A sum{\leq} sum{ omega_A^2(T) sum} sum{\leq} sum{ frac{1}{2} sum{T^{lat_A}T + TT^{lat_A} sum}_A$ 를 수립하며, 기존 경계를 크게 개선한다.
• 이 부등식은 $ mathbb{A} = \text{diag}(A,A)$ 인 경우, 연산자 행렬 $ begin{pmatrix}I&T\\ 0&-I end{pmatrix}$ 의 $ mathbb{A}$-수치반경을 정확히 계산할 수 있도록 향상된다.
• A-unitary $U$ 가 $T$ 와 가환하면 부등식 $ omega_A(UT) \leq \tomega_A(T)$ 가 성립하며, 이는 고전적인 수치반경 성질을 일반화한다.
• 만약 $T$ 가 A-isometric 이고 $S$ 와 가환하며 A-수박인 경우, $ omega_A(TS) \leq \tomega_A(S)$ 가 성립하며, $ sum{T sum}_A = 1$ 이면 등호가 성립한다.
• A-normal $T$ 가 $S$ 와 가환하면 $ omega_A(TS) \leq \tomega_A(T)\tomega_A(S)$ 가 증명되며, 이는 고전적인 수치반경의 하위multiplicativity를 확장한다.
• 결과는 등거리 등장사상을 통해 힐버트 공간 $ bf{R}(A^{1/2})$ 로 옮겨져 표준 수치반경 정리의 적용이 가능해진다.