[논문 리뷰] Some Observations on Lambert series, vanishing coefficients and dissections of infinite products and series

James Mc Laughlin|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 27.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이전에 복잡한 급수 변환을 통해 증명된 바 있었던 무한 q곱의 소실 계수와 m-분할 결과들이, 라마누잔의 ${}_1\psi_1$ 합공식에서 유도된 단일 항등식의 매개변수 특수화로부터 직접 유도됨을 보여준다. 새로운 q급수 항등식을 유도하며, 정수 m을 매개변수로 포함하는 매개변수화된 전개를 포함하고, 이 방법을 파인 함수에 적용하여 이전 결과들을 통합하고 단순화한다.

ABSTRACT

Andrews and Bressoud, Alladi and Gordon, and others, have proven, in a number of papers, that the coefficients in various arithmetic progressions in the series expansions of certain infinite $q$-products vanish. In the present paper it is shown that these results follow automatically (simply by specializing parameters) in an identity derived from a special case of Ramanujan's $_1ψ_1$ identity. Likewise, a number of authors have proven results about the $m$-dissections of certain infinite $q$-products using various methods. It is shown that many of these $m$-dissections also follow automatically (again simply by specializing parameters) from this same identity alluded to above. Two identities that mat be considered as extensions of two Identities of Ramanujan are also derived. It is also shown how applying similar ideas to certain other Lambert series gives rise to some rather curious $q$-series identities, such as, for any positive integer $m$, \begin{multline*} {\displaystyle \frac{\left(q,q,a,\frac{q}{a},\frac{b q}{d}, \frac{dq}{b}, \frac{aq}{b d}, \frac{b d q}{a};q ight)_{\infty }} {\left(b,\frac{q}{b},d,\frac{q}{d},\frac{a}{b},\frac{bq}{a},\frac{a}{d},\frac{dq}{a};q ight)_{\infty }}} = \sum _{r=0}^{m-1} q^r \frac{ \left(q^m,q^m,a q^{2 r},\frac{q^{m-2 r}}{a},\frac{b q^m}{d},\frac{d q^m}{b}, \frac{a q^m}{b d},\frac{b dq^m}{a};q^m ight){}_{\infty }} {\left(b q^r,\frac{q^{m-r}}{b},d q^r,\frac{q^{m-r}}{d},\frac{a q^r}{b},\frac{b q^{m-r}}{a},\frac{a q^r}{d}, \frac{dq^{m-r}}{a};q^m ight){}_{\infty }} \end{multline*} and \begin{equation*} (aq;q)_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n a^n q^{n}}{(q;q)_n} = \sum_{r=1}^{m}(aq^{r};q^m)_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{na^n q^{n r}}{(q^m;q^m)_n}. \end{equation*} Applications to the Fine function $F(a,b;t)$ are also considered.

연구 동기 및 목표

• 무한 q곱 전개에서 산술급수의 계수 소실 결과를 통합하고 단순화된 증명을 제공하는 것.
• 무한 q곱의 m-분할이 알려진 합공식의 매개변수 특수화로부터 자동으로 유도됨을 보이는 것.
• 정수 매개변수 m을 포함하는 새로운 비정상적인 q급수 항등식을 도출하는 것.
• 이 방법을 파인 함수 F(a,b;t) 및 관련 초함수급수로 확장하는 것.
• 복잡한 q급수 결과들이 단일 기초 항등식에서 체계적으로 도출될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 라마누잔의 ${}_1\psi_1$ 합공식의 특수한 경우를 핵심 항등식으로 사용한다.
• 매개변수 특수화를 적용하여 소실 계수 및 m-분할에 대한 항등식을 도출한다.
• 치환 n → nm + r를 통한 산술급수 분해를 활용하여 m-분할 항등식을 생성한다.
• 베일리 쌍과 ${}_6\psi_6$ 합공식에 동일한 방법을 적용하여 새로운 q급수 전개를 유도한다.
• 함수방정식과 급수 재배열을 활용하여 서로 다른 q급수 표현 간의 연결을 확립한다.
• 기존의 로저스-파인 유형 항등식을 기반으로 파인 함수 F(a,b;t)에 대해 매개변수화된 항등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 q곱에서의 소실 계수 결과들이 단일 일반 항등식에서 균일하게 도출될 수 있는가?
• RQ2 무한 q곱의 m-분할이 알려진 합공식의 매개변수 특수화로부터 유도되는가?
• RQ3 이 방법을 다른 람베르트 급수나 초함수급수에 적용했을 때 어떤 새로운 q급수 항등식이 도출되는가?
• RQ4 이 방법을 파인 함수 F(a,b;t)와 같은 함수로 확장할 수 있는가?
• RQ5 정수 매개변수 m을 포함하는 매개변수화된 항등식은 이러한 일반적 프레임워크에서 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 다음과 같은 새로운 라마누잔 항등식의 확장이 도출되었다: \( \frac{(q,q,a,q/a,bq/d,dq/b,aq/bd,bdq/a;q)_\infty}{(b,q/b,d,q/d,a/b,bq/a,a/d,dq/a;q)_\infty} = \sum_{r=0}^{m-1} q^r \frac{(q^m,q^m,aq^{2r},q^{m-2r}/a,bq^m/d,dq^m/b,aq^m/bd,bdq^m/a;q^m)_\infty}{(bq^r,q^{m-r}/b,dq^r,q^{m-r}/d,aq^r/b,bq^{m-r}/a,aq^r/d,dq^{m-r}/a;q^m)_\infty} \).
• 임의의 양의 정수 m에 대해 다음 항등식이 성립함을 보였다: \( (aq;q)_\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{na^n q^n}{(q;q)_n} = \sum_{r=1}^m (aq^r;q^m)_\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{na^n q^{nr}}{(q^m;q^m)_n} \), 이는 매개변수화된 q급수 전개를 제공한다.
• 예를 들어 정리 1.1에서의 소실 계수 결과들은 일반 항등식의 매개변수 특수화를 통해 자동으로 도출되며, 이로써 이전의 복잡한 변환 과정을 피할 수 있다.
• 제품 $ \frac{(q^7,q^5;q^{12})_\infty}{(q,q^{11};q^{12})_\infty} $의 3-분할 결과가 특수한 경우로 복원되었으며, 이는 추론 1.2를 확인한다.
• 주요 항등식의 반복 적용을 통해 무한 곱 항등식, 예를 들어 $ \frac{(q^5,q^5;q^5)_\infty}{(q,q^4;q^5)_\infty} = \frac{1}{1-q^2} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + q^{2^{k-1}} \cdots \right) $ 가 도출된다.
• 동일한 함수의 여섯 가지 다른 q급수 표현(예: $ h_1(a,q) = \cdots = h_6(a,q) $) 간의 동치성을 확립하고, m-매개변수 형태로 일반화하였다.