[논문 리뷰] Some Ostrowski's Type Inequalities for Functions whose Second Derivatives are s-Convex in the Second Sense and Applications

Erhan Set, Mehmet Zeki Sarıkaya외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 12.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 번째 의미에서 s-볼록인 두 번째 도함수를 가진 두 번째 미분 가능 함수에 대해 새로운 오스트로프스키 유형 부등식을 정립한다. 적분 항등식과 s-볼록성의 성질을 사용하여, 두 번째 도함수의 L1 노름을 포함하는 날카운 경계를 도출한다. 응용은 산술 평균, 로그 평균, 그리고 동치 평균과 같은 특수 평균에 대해 이루어지며, 특히 거듭제곱 함수와 로그 함수에 대해 적용된다.

ABSTRACT

Some new inequalities of Ostrowski type for twice differentiable mappings whose derivatives in absolute value are s-convex in the second sense are given.Applications for special means are also provided.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 도함수가 두 번째 의미에서 s-볼록인 함수에 대해 오스트로프스키 유형의 새로운 적분 부등식을 유도하는 것.
• 클래식한 오스트로프스키 및 하다르드 유형 부등식을 두 번째 의미에서의 s-볼록 함수의 클래스로 확장하는 것.
• 두 번째 도함수의 s-볼록성을 통합하여 함수 값과 그 적분 평균 사이의 이탈에 대한 정량적 경계를 제공하는 것.
• 산술 평균, 로그 평균, 동치 평균과 같은 양의 실수의 특수 평균에 유도된 부등식을 적용하는 것.
• 두 번째 도함수에 대한 s-볼록성 가정을 통해 수치 적분 규칙의 오차 추정을 수립하는 것.

제안 방법

• 부분 적분을 사용하여 적분 항등식을 유도함으로써, 적분 평균과 함수 값 및 선형 보정 항의 차이를 표현한다.
• |f''|의 s-볼록성 성질을 적용하여, |f''(a)|, |f''(b)|, |f''(x)|의 가중 평균을 통한 결과 적분을 경계한다.
• 횔러의 부등식과 멱평균 추정을 사용하여, 두 번째 도함수의 Lq-적분 가능성 조건 하에 Lp 유형 경계를 도출한다.
• 변수 치환 u = tx + (1-t)a 및 u = tx + (1-t)b를 사용하여 적분을 [0,1] 상에서의 매개변수 형태로 변환한다.
• 특정 함수 f(x) = x^s 및 f(x) = ln x에 적용하여 특수 평균에 대한 부등식을 도출한다.
• 유도된 오차 경계를 사용하여 일반화된 로그 평균 L_s, 산술 평균 A, 동치 평균 I를 포함하는 부등식을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 도함수가 두 번째 의미에서 s-볼록일 경우 오스트로프스키 유형 오차에 대한 최적 경계는 무엇인가?
• RQ2 |f''|의 s-볼록성을 사용하여 적분 평균 근사 오차를 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ3 이러한 부등식은 산술 평균 A, 동치 평균 I, 그리고 L_s와 같은 특수 평균에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 추가적인 적분 가능성 조건(Lp) 또는 볼록성 조건(s-볼록성)이 가미될 경우 경계는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 이러한 부등식을 사용하여 로그 평균과 산술 평균 사이의 차이에 대한 새로운 추정을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 두 번째 도함수가 s-볼록인 경우에 대해 날카운 오스트로프스키 유형 부등식을 수립한다: |(1/(b-a))∫ₐᵇ f(u)du - f(x) + (x - (a+b)/2)f'(x)| ≤ (1/(2(b-a))) × {[(|f''(x)|)/(s+3) + 2|f''(a)|/((s+1)(s+2)(s+3))](x-a)³ + [(|f''(x)|)/(s+3) + 2|f''(b)|/((s+1)(s+2)(s+3))](b-x)³} for x ∈ [a,b].
• 중점 규칙의 경우, x = (a+b)/2일 때 경계는 |(1/(b-a))∫ₐᵇ f(u)du - f((a+b)/2)| ≤ (1/24)(b-a)² × max{|f''(a)|, |f''(b)|} × (s² + 3s + 4)/((s+1)(s+2)(s+3))로 간소화된다.
• f(x) = x^s on [a,b]일 때, 부등식은 s ∈ (0,1)에 대해 |L_s^s(a,b) - A^s| ≤ (M(b-a)²/8) × (s² + 3s + 4)/((s+1)(s+2)(s+3))를 유도한다. 여기서 M = max{|f''(a)|, |f''(b)|}.
• f(x) = ln x일 때, 부등식은 |ln I - ln A| ≤ (2^{(s-1)/q}(b-a)²)/((2p+1)^{1/p}) × [1/(3a+b)² + 1/(a+3b)²]를 제공하며, 이는 p > 1, q > 1 이고 1/p + 1/q = 1일 때 유효하다.
• 횔러의 부등식을 사용하여 (2p+1)^{-1/p} 및 (2/(s+1))^{1/q}를 포함하는 경계를 도출하였으며, 이로 인해 |L_s^s(a,b) - A^s| ≤ (M/(8(2p+1)^{1/p})) × (2/(s+1))^{1/q} × (b-a)²가 유도된다.
• 상수 (s² + 3s + 4)/((s+1)(s+2)(s+3))는 s-볼록성의 맥락에서 최적임이 입증되었으며, s = 1일 때 기존의 경우로 축소된다.