[논문 리뷰] Some Properties of Accretive Operators in Linear 2-Normed Spaces

Harikrishnan Panackal, K. T. Ravindran|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 09.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 3인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 선형 2노름 공간에서의 적응성 및 m-적응성 연산자의 기본 성질을 수립하며, 수축 사상 원리에 기반해 강한 적응성 연산자 방정식의 해가 존재함을 증명한다. 이는 바나흐 고정점 정리의 2노름 설정으로의 확장을 포함하며, 유계성과 닫힘 조건 하에서 강한 적응성 사상이 Tx = θ의 해를 갖는다는 것을 보여주며, 범위 특성화와 해석자 수렴에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper we discuss some properties of resolvents of an accretive operator in linear 2-normed spaces, focusing on the concept of contraction mapping and the unique fixed point of contraction mappings in linear 2- normed spaces. Also, we establish the existence of solution of strong accretive operator equation in linear 2-normed spaces.

연구 동기 및 목표

• 선형 2노름 공간에서의 적응성 연산자의 해석자와 고정점 성질을 조사한다.
• 수축 사상과 고정점 이론을 2노름 공간의 프레임워크로 확장한다.
• 선형 2노름 공간의 유계이고 닫힌 부분집합에서 강한 적응성 연산자 방정식의 해 존재성을 확립한다.
• I+T에 대한 전사성 조건 하에서 강한 적응성 연산자의 범위를 특성화한다.

제안 방법

• 모든 λ>0 및 z∈X에 대해 ‖x−y,z‖ ≤ ‖(x−y)+λ(Tx−Ty),z‖를 만족하는 부등식을 사용해 선형 2노름 공간에서의 적응성 및 m-적응성 연산자를 정의한다.
• 해석자 연산자 Jₙ(x) = (I + n⁻¹T)⁻¹(x)와 요사다 근사 Tₙ(x) = n(I − Jₙ)(x)를 도입한다.
• 해석자 (I+λT)⁻¹이 비확장임을 증명하고, Tₙ이 상수 2n을 가진 리프시츠 연속임을 확립한다.
• T가 강한 적응성이고 (I+T)(E) ⊇ E이면, (I+T)⁻¹이 수축 사상임을 증명한다.
• 순차 수렴과 유계성을 사용해, E의 닫힘에 속한 x에 대해 n→∞일 때 Jₙx → x임을 보인다.
• 2노름 공간에서 일반화된 바나흐 고정점 정리 적용을 통해, 수축 사상에 대해 고유한 고정점 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 2노름 공간에서의 강한 적응성 연산자 T가 Tx = θ의 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 수축 사상 원리가 선형 2노름 공간으로 확장될 수 있는가? 그리고 반복 수열의 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 2노름 공간에서 해석자 (I+λT)⁻¹과 요사다 근사 Tₙ이 상속하는 성질은 무엇인가?
• RQ4 강한 적응성 연산자 T의 범위는 닫힘과 유계인 집합에서 (I+T)의 전사성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 적응성 연산자 T에 대해 선형 2노름 공간에서 해석자 (I+λT)⁻¹이 존재하며, 비확장이다.
• 요사다 근사 Tₙ는 모든 x,y,z∈X에 대해 ‖T₧x−Tₙy,z‖ ≤ 2n‖x−y,z‖를 만족한다.
• 유계이고 닫힌 부분집합 E에 대해, 모든 x∈cl(E)에 대해 n→∞일 때 해석자 Jₙx가 x로 수렴한다.
• 선형 2노름 공간의 닫힘과 유계인 부분집합 E에 정의된 수축 사상 T는 고유한 고정점을 가진다.
• T가 강한 적응성이고 (I+T)(E) ⊇ E이면, 방정식 Tx = θ는 E 내에 해를 가진다.
• T가 강한 적응성이고 (I+T)(E) = E이면, T의 범위는 정확히 E이다. 즉, R(T) = E이다.