[논문 리뷰] Some properties of Generalized Fibonacci difference bounded and $p$-absolutely convergent sequences

Anupam Das, Bipan Hazarika|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 01.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 피보나치 차분행렬 $ \hat{F}(r,s) $를 사용하여 새로운 수열 공간 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $를 정의하며, 포함 관계를 설정하고, 그의 $ \alpha $-, $ \beta $-, 및 $ \gamma $-쌍대를 계산하며, 행렬 변환을 특성화하고, $ 1 < p < \infty $일 때 이 공간이 바나흐-세크스 타입 $ p $와 약한 고정점 성질을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 선형 등장성에 의해 $ \ell_p $와 유사함을 활용하여 증명된다. 주요 기여는 피보나치 행렬에서 유도된 이 새로운 수열 공간의 기하학적 및 구조적 분석에 있다.

ABSTRACT

The main objective of this paper is to introduced a new sequence space $l_{p}(\hat{F}(r,s)),$ $ 1\leq p \leq \infty$ by using the band matrix $\hat{F}(r,s).$ We also establish a few inclusion relations concerning this space and determine its $α-,β-,γ-$duals. We also characterize some matrix classes on the space $l_{p}(\hat{F}(r,s))$ and examine some geometric properties of this space.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 피보나치 수로부터 유도된 밴드 행렬 $ \hat{F}(r,s) $를 사용하여 새로운 수열 공간 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $를 정의한다.
• 클래식한 수열 공간들과의 포함 관계를 설정한다.
• $ \alpha $-, $ \beta $-, 및 $ \gamma $-쌍대를 계산하여 행렬 변환의 특성화를 가능하게 한다.
• $ 1 < p < \infty $일 때, 기하적 성질인 바나흐-세크스 타입 $ p $와 약한 고정점 성질을 연구한다.

제안 방법

• 피보나치 수 $ f_n $를 사용하여 일반화된 피보나치 차분행렬 $ \hat{F}(r,s) $를 정의하며, 항목은 $ k=n $이면 $ s\frac{f_{n+1}}{f_n} $, $ k=n-1 $이면 $ r\frac{f_n}{f_{n-1}} $, 그 외에는 0이다.
• 완전성과 노름 구조를 보장하기 위해, 행렬 도메인 $ \ell_p^{\hat{F}(r,s)} = \{ x \in \omega : \hat{F}(r,s)x \in \ell_p \} $로 수열 공간 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $를 정의한다.
• 함수해석학의 표준 기법을 사용하여, 합산 조건과 행렬 변환 특성화를 통해 $ \alpha $-, $ \beta $-, 및 $ \gamma $-쌍대를 계산한다.
• 행렬 $ \hat{F}(r,s) $의 성질을 이용하여 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $와 $ \ell_p $, $ c_0 $, $ \ell_\infty $와 같은 고전적 공간들을 비교함으로써 포함 정리들을 수립한다.
• 표준 기저 $ \{e^{(n)}\} $를 사용하여 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $의 샤펄 기저를 구성하고, 완전성과 샤펄 기저 성질을 증명한다.
• 행렬 $ \hat{F}(r,s) $와 $ \ell_p $ 사이의 선형 등장성과 알려진 바나흐-세크스 타입 $ p $ 및 약한 고정점 성질 결과를 적용하여 기하적 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최근 정의된 공간 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $와 $ \ell_p $, $ c_0 $, $ \ell_\infty $와 같은 고전적 수열 공간 사이의 포함 관계는 무엇인가요?
• RQ2 공간 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $의 $ \alpha $-, $ \beta $-, 및 $ \gamma $-쌍대는 무엇인가요?
• RQ3 어떤 행렬 클래스들이 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $를 다른 수열 공간으로 매핑할 수 있으며, 이를 어떻게 특성화할 수 있나요?
• RQ4 $ 1 < p < \infty $일 때, $ l_p(\hat{F}(r,s)) $는 바나흐-세크스 타입 $ p $ 성질을 갖는가요?
• RQ5 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $는 약한 고정점 성질을 가지며, 가르시아-팔세트 계수 $ R(l_p(\hat{F}(r,s))) $의 값은 얼마인가요?

주요 결과

• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $는 행렬 $ \hat{F}(r,s) $에 의해 유도된 노름을 갖는 바나흐 공간이며, $ \ell_p $와 선형 등장성이 있으며, 핵심 기하적 성질을 유지한다.
• $ \alpha $-, $ \beta $-, 및 $ \gamma $-쌍대는 항목의 합산 조건을 사용하여 완전히 특성화된다.
• $ 1 < p < \infty $일 때, 공간 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $는 바나흐-세크스 타입 $ p $를 갖는다. 즉, 모든 약한 영 수열은 코시 평균이 최대 $ (n+1)^{1/p} $의 속도로 증가하는 부분수열을 갖는다.
• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $는 약한 고정점 성질을 만족한다. $ R(l_p(\hat{F}(r,s))) = 2^{1/p} < 2 $이므로, 비확장 매핑에 대한 고정점의 존재가 보장된다.
• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $의 샤펄 기저는 표준 기저 $ \{e^{(n)}\} $이며, 이 공간은 분리 가능하고 완전하다.
• 포함 관계에 따르면, $ 1 \leq p < \infty $일 때 $ l_p(\hat{F}(r,s)) \subset \ell_p $이며, $ r $와 $ s $에 대한 특정 조건 하에 $ \ell_p \subset l_p(\hat{F}(r,s)) $가 성립한다.