[논문 리뷰] Some quantitative results on Lipschitz inverse and implicit functions theorems

Phan Phien|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 22.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 야코비안 ∂f(x₀)를 통해 클라크의 리프레시블리티 및 은닉 함수 정리의 정량적 추정을 제공한다. 특히, 가역성의 이웃 영역과 역함수의 리프레시블리티 상수를 점에서의 일반화된 야코비안으로 명시적으로 경계한다. 또한 클라크 정리의 조건을 만족하는 매핑의 집합이 작은 리프레시블리티 페르터베이션에 대해 열려 있음을 입증하며, 최적화 및 비선형 해석 응용 분야에 대해 구체적인 경계를 제공한다.

ABSTRACT

Let $ f: \mathbb{R} ^ n ightarrow \mathbb{R}^n $ be a Lipschitz mapping with generalized Jacobian at $x_0$, denoted by $\partial f(x_0)$, is of maximal rank. F. H. Clarke (1976) proved that $f$ is locally invertible. In this paper, we give some quantitative assessments for Clarke's theorem on the Lipschitz inverse, and prove that the class of such mappings are open. Moreover, we also present a quantitative form for Lipschitz implicit function theorem.

연구 동기 및 목표

• 클라크의 역함수 정리에서 매핑의 국소적 가역성 이웃 영역과 역함수의 리프레시블리티 상수에 대한 명시적 정량적 추정을 제공하는 것.
• 이러한 추정을 리프레시블리티 은닉 함수 정리의 정량적 형태로 확장하는 것.
• 클라크의 역함수 정리를 만족하는 매핑의 집합이 작은 리프레시블리티 페르터베이션에 대해 열려 있음을 증명하는 것.
• 비미분 가능 설정에서 역함수 및 은닉 함수 정리에 대해 구체적이고 계산 가능한 경계를 제공함으로써 이전의 정성적 결과의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 논문은 리프레시블리티 매핑 f: ℝⁿ → ℝⁿ의 국소적 가역성을 특징짓기 위해 일반화된 야코비안 ∂f(x₀)를 사용한다.
• 행렬 노름 부등식과 역행렬의 페르터베이션 이론(정리 2.2를 통해)을 적용하여 역함수 매핑의 리프레시블리티 상수에 대한 경계를 유도한다.
• x₀와 f(x₀)의 이웃 영역 U와 V는 ∂f(x₀)에서의 역행렬 노름의 하한과 f의 리프레시블리티 상수를 사용하여 명시적으로 추정된다.
• 리프레시블리티 매핑과 일반화된 야코비안을 고려한 고정점 접근 방식으로 문제를 환원하여 정량적 은닉 함수 정리를 도출한다.
• 작은 리프레시블리티 페르터베이션에 의한 f의 변화가 ∂f(x₀)의 최대 질량을 유지하지 못하지 않음을 보여줌으로써, 클라크 정리를 만족하는 매핑의 집합이 열려 있음을 증명한다.
• 분석은 행렬 노름 성질, 부분도의 볼록 hull, 그리고 역행렬 노름 공식 ‖M⁻¹‖ = 1 / min‖x‖=1 ‖Mx‖에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ∂f(x₀)가 주어졌을 때, 리프레시블리티 매핑 f가 국소적으로 가역성이 있는 이웃 영역 U와 V의 크기에 대한 명시적이고 계산 가능한 경계는 무엇인가요?
• RQ2 ∂f(x₀)로부터 역함수 매핑의 리프레시블리티 상수를 어떻게 정량적으로 추정할 수 있나요?
• RQ3 일반화된 야코비안을 사용하여 리프레시블리티 은닉 함수 정리의 정량적 형태를 도출할 수 있나요?
• RQ4 클라크의 역함수 정리를 만족하는 매핑의 집합이 작은 리프레시블리티 페르터베이션에 대해 열려 있는 조건은 무엇인가요?
• RQ5 페르터베이션의 리프레시블리티 상수가 원래 매핑의 리프레시블리티 상수를 초과할 경우 국소적 가역성은 어떻게 되나요?

주요 결과

• 역함수 g는 L(g) = 1/δ로 리프레시블리티 상수가 경계되며, 여기서 δ = ½ inf_{M₀∈∂f(x₀)} 1/‖M₀⁻¹‖이다.
• x₀의 이웃 영역 U는 Bⁿ_{(rδ)/(2(K′+L))}(x₀)로 추정되며, r = 1이고 δ는 위와 같다.
• 이미지 이웃 영역 V는 f(x₀) + (rδ/2)Bⁿ로 주어지며, 따라서 V = Bⁿ_{rδ/2}(f(x₀))이다.
• 클라크 정리를 만족하는 매핑의 집합은 열려 있다: f가 h에 의해 페르터베이션되며 sup_{H∈∂h(x₀)}‖H‖ < 1 / sup_{M₀∈∂f₀(x₀)}‖M₀⁻¹‖이면 f+h는 여전히 국소적으로 가역적이다.
• f₀(x,y) = (|x|+2x, |y|+2y)의 예시에서, 역함수는 B²_{1/7}((0,0))에서 국소적으로 정의되며 리프레시블리티 상수는 1이다.
• 페르터베이션 h의 리프레시블리티 상수가 K(원래 f₀의 하한 리프레시블리티 상수)를 초과할 경우, 일반화된 야코비안은 최대 질량를 잃을 수 있으며, 이로 인해 국소적 가역성이 실패한다.