[논문 리뷰] Some questions about the index of quantized contact transformations

Alan Weinstein|ArXiv.org|1998. 08. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 접촉다양체 위의 CR 구조와 그 스텐 링킹을 연결하는 접합 추측을 통해 양자화된 접촉변환의 상대지수에 대한 위상수학적 공식을 제안한다. 하드비 공간(양자 힐버트 공간)의 상대지수를 접합된 다양체 위의 디랙 연산자의 지수와 연결함으로써, 지수 이론의 기존 결과로 문제를 환원함으로써, 디랙 연산자 접합 정리와 도르베오-복합체를 이용한 지수 계산 전략을 제공한다.

ABSTRACT

An index formula is proposed for contact transformations between contact manifolds equipped with CR structures or with fillings by symplectic manifolds. The formula generalizes the Atiyah-Singer formula and gives a conjectured formula for the index of Fourier integral operators, as well as Epstein's relative index for CR structures.

연구 동기 및 목표

• 코스피어 밀러의 두 코스피어 번들의 사이의 접촉 미분형상에 대응하는 푸리에 적분 연산자와 관련된 지수에 대한 위상수학적 공식을 수립하는 것.
• 다른 CR 구조에 대응하는 양자 힐버트 공간(하드비 공간)의 상대지수를 접합된 다양체 위의 디랙 연산자의 지수와 연결하는 것.
• 스테인 링킹 위의 도르베오-디랙 연산자를 사용하여 지수 문제를 지수 이론의 기존 결과로 환원하는 것.
• 칼데론 프로젝터와 경계값 문제를 이용한 접합 추측에 대한 증명 전략을 제공하는 것.
• 상대지수 계산의 맥락에서 헬름홀로픽 및 디랙 지수의 호환성 여부를 조사하는 것.

제안 방법

• 접합 추측을 사용하여, 컴acts한 접촉다양체 Y 위의 두 극화의 상대지수를 Y를 경계로 하여 두 스텐 링킹을 접합하여 만든 다양체 위의 디랙 연산자의 지수와 동일시한다.
• 칼데론 프로젝터가 일치하는 디랙 연산자에 대한 보자르스키-부오쉬-바브네크- Wojciechowski 접합 정리를 적용한다.
• 스테인 링킹 X₁과 X₂ 위에서 도르베오-복합체의 짝수 및 홀수 부분에 대해 D⁺ = ∂̄ + ∂̄* 형태의 디랙 연산자를 구성한다.
• Y 위에서 복소화된 접선다발 간의 동형사상으로 디랙 연산자의 경계 자료의 호환성을 확보한다.
• 카우치 자료 공간과 그 프로젝션을 분석함으로써 하드비 공간의 상대지수를 디랙 연산자의 상대지수로 환원한다.
• 조화 (0,2)-형식이 두 링킹 모두에 동일하게 기여하므로 상대지수 계산에서 상쇄됨을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 스텐 링킹을 경계로 하여 접합한 다양체 위의 디랙 연산자의 지수를 통해, 컴팩트한 접촉다양체 위의 두 CR 구조의 상대지수를 위상수학적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 다른 극화에 대응하는 양자 힐버트 공간(하드비 공간)의 상대지수는 접합된 다양체 위의 디랙 연산자의 지수와 동일한가?
• RQ3 두 스텐 링킹 위의 정칙 섹션의 상대지수는 그에 대응하는 디랙 연산자의 상대지수와 동일한가?
• RQ4 ∂̄u = 0의 해에 대한 카우치 자료 공간은 L²(Y) 내의 프로젝션 연산자와 어떻게 관련되며, 그 프레드홀름 성질은 어떠한가?
• RQ5 정칙 벡터장 또는 셰이프이론적 방법은 정칙 끝부분의 겹침에서 발생하는 비-쿼지-이소모르피즘 문제를 어느 정도 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 두 극화의 상대지수는 그 스텐 링킹을 경계로 접합하여 만든 다양체 위의 디랙 연산자의 지수와 동일하다는 것이 추측된다.
• 칼데론 프로젝터의 주요 기호가 일치할 경우, ∂̄u = 0의 해에 대한 카우치 자료 공간 간의 수직 프로젝션은 프레드홀름 연산자이다.
• 부오쉬-바브네크와 워지에히체프스키의 접합 정리에 따르면, 경계 자료가 동형일 경우 두 디랙 연산자의 상대지수는 접합된 디랙 연산자의 지수와 같다.
• 복소 차원 2에서, 카우치 자료 공간은 정칙 함수의 기여와 조화 (0,2)-형식의 기여로 분해되며, 후자는 상대지수 계산에서 상쇄된다.
• X₁과 X₂ 위의 디랙 연산자 D⁺₁과 D⁺₂의 상대지수는 그 정칙 섹션 공간의 상대지수와 동일하다는 것이 추측된다.
• 조화 (0,2)-형식의 기여가 CR 구조에 영향을 받지 않기 때문에, 복소 차원 2에서의 증거는 이 추측을 지지하며, 상대지수 계산에서 상쇄됨을 시사한다.