[논문 리뷰] Some remarks about conservation and entropy stability for residual distribution schemes

Rémi Abgrall|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 10.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 비선형 문제에 대한 기존의 잔차 분포 기법들을 공통된 프레임워크 아래 통합하여 국소적 보존성과 Tadmor의 엔트로피 안정성 조건을 추가적인 보존 조건으로 자연스럽게 재구성함을 보여준다. 이는 적분 구함수 제약 조건 없이 엔트로피 소산 기법을 구성할 수 있는 방법을 제시하며, 최적의 정확도를 유지한다.

ABSTRACT

We are interested in the discretisation of the steady version of hyperbolic problems. We first show that all the known schemes (up to our knowledge) can be rephrased in a common framework. Using this framework, we first show all all the known scheme have a flux formulation, wit an explicit construction of the flux, and thus are locally conservative. This is well known for the finite volume schemes or the discontinuous Galerkin ones, much less known for the continuous finite element methods. Using this framework, we show that Tadmor's entropy stability formulation can naturally be rephrased in this framework as an additional conservation relation discretisation. Using this formulation, we show how to build entropy dissipative methods. This improve the recent results obtained in [1, 2, 3, 4] in the sense that no particular constraints are set on quadrature formula and that a priori maximum accuracy can still be achieved. This paper is an enhanced version of [5].

연구 동기 및 목표

• 기존의 잔차 분포 기법들을 공통된 수학적 프레임워크 아래 통합하는 것.
• 모든 알려진 기법들, 연속 유한요소 방법을 포함하여, 유량 표현을 통해 국소적 보존성을 입증하는 것.
• 이 프레임워크 내에서 Tadmor의 엔트로피 안정성 조건을 이산 보존 관계로 재구성하는 것.
• 적분 구함수 규칙에 제약을 두지 않고도 최적의 정확도를 유지하는 엔트로피 소산 기법을 개발하는 것.

제안 방법

• 모든 알려진 잔차 분포 기법을 재표현할 수 있는 통합 프레임워크를 도입하여, 그들의 기본적인 유량 구조를 드러낸다.
• 유량 표현을 명시적으로 구성함으로써, 연속 유한요소 방법을 포함한 모든 기법에 대한 국소적 보존성을 입증한다.
• Tadmor의 엔트로피 안정성 조건을 이 프레임워크 내에서 추가적인 이산 보존 법칙으로 재해석한다.
• 이 추가 보존 관계를 강제함으로써 적분 구함수 규칙에 제약을 두지 않고 엔트로피 소산 기법을 구성한다.
• 최적의 정확도가 유지됨을 보장하며, 엔트로피 안정성 조건을 강제하더라도 여전히 성립한다.
• 적분 공식에 대한 가정을 제거함으로써 이전 연구를 일반화하고 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 알려진 잔차 분포 기법들이 그들의 유량 구조를 드러내는 단일한 수학적 프레임워크 아래 통합될 수 있는가?
• RQ2 Tadmor의 엔트로피 안정성 조건은 이 프레임워크 내에서 어떻게 자연스럽게 이산 보존 법칙으로 통합될 수 있는가?
• RQ3 적분 구함수 규칙의 선택에 제약을 두지 않고 엔트로피 소산 기법을 구성하는 것은 가능한가?
• RQ4 이러한 제약 조건을 제거했을 때도 엔트로피 안정 기법이 최적의 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 연속 유한요소 방법 역시 이 프레임워크 내에서 유량 표현을 가지며, 따라서 국소적 보존성을 갖는가?

주요 결과

• 모든 알려진 잔차 분포 기법, 연속 유한요소 방법을 포함하여, 명시적인 유량 표현을 가진 공통 프레임워크로 표현 가능하며, 이는 국소적 보존성을 입증한다.
• Tadmor의 엔트로피 안정성 조건은 이 프레임워크 내에서 추가적인 이산 보존 관계로 자연스럽게 재구성된다.
• 적분 구함수 규칙에 제약을 두지 않고도 엔트로피 소산 기법을 구성할 수 있다.
• 제안된 방법은 엔트로피 안정성 조건을 강제하더라도 사전 최적 정확도를 유지한다.
• 이 프레임워크는 [1–4]의 이전 결과를 일반화하고 향상시키며, 적분 공식에 대한 가정을 제거함으로써 개선된다.