[논문 리뷰] Some remarks on Finsler manifolds with constant flag curvature

Robert L. Bryant|ArXiv.org|2001. 07. 31.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 15인용 수 69

한 줄 요약

이 논문은 정수형 플래그 곡률을 갖는 페인슬러 다양체와 2n-다양체 위의 비틀림이 없는 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-구조 사이에 깊은 대응을 수립하며, 이러한 페인슬러 구조가 국소적으로 정수형 플래그 곡률을 갖는 적분 가능하고 비틀림이 없는 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-구조와 대응됨을 보여준다. 이 구조들이 지오데식 공간 위의 표준 칼라 기하학에서 유래됨을 증명하고, $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$가 비틀림이 없는 접속의 호로니 그룹이 될 수 있음을 드러내며, 이는 이전에 문헌에서 예상되지 않았다.

ABSTRACT

This article is an exposition of four loosely related remarks on the geometry of Finsler manifolds with constant positive flag curvature. The first remark is that there is a canonical Kahler structure on the space of geodesics of such a manifold. The second remark is that there is a natural way to construct a (not necessarily complete) Finsler n-manifold of constant positive flag curvature out of a hypersurface in suitably general position in complex projective n-space. The third remark is that there is a description of the Finsler metrics of constant curvature on the 2-sphere in terms of a Riemannian metric and 1-form on the space of its geodesics. In particular, this allows one to use any (Riemannian) Zoll metric of positive Gauss curvature on the 2-sphere to construct a global Finsler metric of constant positive curvature on the 2-sphere. The fourth remark concerns the generality of the space of (local) Finsler metrics of constant positive flag curvature in dimension n+1>2 . It is shown that such metrics depend on n(n+1) arbitrary functions of n+1 variables and that such metrics naturally correspond to certain torsion-free S^1 x GL(n,R)-structures on 2n-manifolds. As a by-product, it is found that these groups do occur as the holonomy of torsion-free affine connections in dimension 2n, a hitherto unsuspected phenomenon.

연구 동기 및 목표

• 정수형 양의 플래그 곡률을 갖는 페인슬러 다양체의 기하학적 구조, 특히 그 지오데식 공간을 통해 명확히 하기.
• 정수형 양의 플래그 곡률을 갖는 이러한 페인슬러 구조와 2n-다양체 위의 비틀림이 없는 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-구조 사이의 대응을 수립하기.
• 비틀림이 없는 애파인 접속의 호로니 그룹으로서 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$가 나타날 수 있음을 보여주기 — 이는 이전에 문헌에서 인식되지 않았다.
• 플래그 곡률이 1인 페인슬러 다양체의 지오데식 공간이 자연스럽게 칼라 구조를 지닌다는 것을 보여주기.
• Zoll 리만 기하에서 유도된 전역적인 정수형 양의 곡률을 갖는 페인슬러 메트릭을 $S^2$ 위에 구성하는 방법 제공.

제안 방법

• 지오데식의 방향을 고려한 다양체 $Q$를 2n차원 다양체로 간주하고, 지오데식 흐름으로부터 유도된 자연스러운 심플렉틱 구조를 갖춘다.
• 플래그 곡률이 일정하고 양일 경우, $Q$는 심플렉틱 형식이 평행해지는 자연스러운 리만 메트릭을 지녀, 칼라 다양체를 이룬다.
• 지오데식 위의 점들에 대응하는 완전 실수 부분다양체를 통해 $Q$ 위에 자연스러운 $S^1 \cdot \mathrm{O}(n)$-구조를 구성한다.
• 이 $S^1 \cdot \mathrm{O}(n)$-구조를 $Q$ 위의 비틀림이 없는 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-구조로 축소하여, 페인슬러 기하학의 기초를 마련한다.
• 구조의 축소와 곡률 분석을 통해 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-구조와 플래그 곡률 1을 갖는 일반화된 페인슬러 메트릭 간의 연결 고리를 설정한다.
• 카르탕의 이동 기저 방법과 외부 미분계열을 사용하여 이러한 구조의 국소 일반성 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수형 양의 플래그 곡률을 갖는 페인슬러 다양체의 지오데식 공간은 자연스럽게 칼라 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 차원 $n+1$에서 정수형 양의 플래그 곡률을 갖는 페인슬러 메트릭의 국소 일반성은 무엇인가?
• RQ3 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$는 2n-다양체 위의 비틀림이 없는 애파인 접속의 호로니 그룹이 될 수 있는가?
• RQ4 어떻게 리만 Zoll 기하에서 유도된 Riemann 기하를 사용하여 $S^2$ 위에 전역적인 정수형 양의 곡률을 갖는 페인슬러 메트릭을 구성할 수 있는가?
• RQ5 비틀림이 없는 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-구조와 플래그 곡률 1을 갖는 페인슬러 구조 사이의 정확한 대응은 무엇인가?

주요 결과

• 플래그 곡률이 1인 페인슬러 다양체의 지오데식 공간 $Q$는 심플렉틱 형식이 리만 메트릭과 평행한 자연스러운 칼라 구조를 지닌다.
• 차원 $n > 2$일 경우, 플래그 곡률이 1인 정수형 양의 페인슬러 메트릭은 국소적으로 $n(n+1)$개의 $n+1$개 변수에 대한 임의의 함수에 의존한다.
• $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$는 비틀림이 없는 애파인 접속에 의한 호로니 그룹으로서 실현되었으며, 이는 이전에 문헌에서 예상되지 않았던 현상이다.
• 2n-다양체 위의 비틀림이 없고 적분 가능하며 양의 곡률을 갖는 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-구조는 정수형 플래그 곡률 1을 갖는 국소적 페인슬러 구조와 이분기적으로 대응된다.
• 임의의 $S^2$ 위의 리만 Zoll 기하에서 유도된 전역적인 정수형 양의 곡률을 갖는 페인슬러 메트릭은 지오데식 공간 위의 칼라 구조를 통해 구성될 수 있다.
• 이러한 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-구조의 곡률 텐서는 차원 $\dim({\mathcal{K}}_{\circ}(\mathfrak{g}))^{(1)} = 2\binom{n+2}{3} + 2n\binom{n+3}{4}$인 공간에 속하며, 이는 국소 일반성을 확인한다.