[논문 리뷰] Some results about the geometric Whittaker model

Roman Bezrukavnikov, Alexander Braverman외 1명|ScholarWorks@UMassAmherst (University of Massachusetts Amherst)|2002. 10. 16.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 기하학적 랭랜즈 프로그램의 ℓ-adic 층에 대해 비퇴화 성질을 가진 캐릭터 χ:U→G_a 에 대한 평균화 함자와 버드리어 듀얼리티의 교환 조건을 확립한다. 이는 두 경우에 대해 증명한다: (1) χ가 강하게 비퇴화일 때 임의의 G-variety에 대해 ${\overline{P}}$--equivariant 층에 대해 성립하며, (2) P가 보럴 부분군일 때 G 자체에 대해 층이 고도 작용에 대해 불변일 경우, B. C. 남고의 추측을 확인한다. 핵심 결과는 이러한 조건 하에서 !-평균화 함자와 *-평균화 함자 사이의 동형이다.

ABSTRACT

Let G be an algebraic reductive group over a an algebraically closed field of positive characteristic. Choose a parabolic subgroup $P$ in $G$ and denote by $U$ its unipotent radical. Let $X$ be a $G$-variety. The purpose of this paper is to give two examples of a situation in which the functor of averaging of l-adic sheaves on $X$ with respect to a generic character of $U$ commutes with Verdier duality. In the first example we take $χ$ to be an arbitrary $G$-variety and we prove the above property for all $\overline{P}$-equivariant sheaves on $X$ where $\overline{P}$ is an opposite parabolic subgroup assuming $χ$ satisfies a strong nondegeneracy condition (such a $χ$ exists for some but not all choices of $P$). In the case when $P$ is a Borel subgroup it is enough to require that the sheaf in question is $\overline{U}$ equivariant where $\overline{U}$ is the unipotent radical of $\overline{P}$. In the second example we take $X = G$ where $G$ acts by left translations and we prove the corresponding result when $P$ is a Borel subgroup for sheaves equivariant under the adjoint action of $G$ (the latter result was conjectured by B. C. Ngo who proved it for $G = GL(n)$). As an application we reprove a theorem of N. Katz and G. Laumon about local acyclicity of the kernel of the Fourier-Deligne transform.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 G-variety 위의 ℓ-adic 층에 대해 캐릭터 χ:U→G_a 에 대한 평균화 함자가 버드리어 듀얼리티와 교환되는 조건을 확립하는 것.
• 특성 p>h인 체 위의 재구성군 G에 대해, χ가 비퇴화일 경우 !-평균화 함자와 *-평균화 함자가 동형임을 증명하는 것.
• P가 보럴 부분군일 때 G 위의 층이 고도 작용에 대해 불변일 경우 평균화 함자가 버드리어 듀얼리티와 교환됨을 확인하는 B. C. 남고의 추측을 검증하는 것.
• 드류얼리티 교환 성질을 이용하여 N. 캅과 G. 라우몬의 푸리에-델리뉴 변환 커널에 대한 국소적 약화 정리의 재증명을 시도하는 것.

제안 방법

• k-스키마 S 위의 ℓ-adic 층의 유도 범주 D^b(S)에서 펄서브 층 이론과 기하학적 사타케 동치의 응용.
• 곱셈 사상 m:G×G→G를 통해 정의된 컨볼루션 함자 ⋆ 및 ∗의 적용.
• 관련된 원소 e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}})와 그의 유리적 리처드슨 성질을 통해 비퇴화 캐릭터 χ:U→G_a 를 정의하는 것.
• U와 G/{\overline{P}} 내의 열린 궤도 Y_{{\overline{P}}}^0 사이의 동형을 이용하여 W_{{\overline{P}}}^0 위에 코너지션을 통한 새로운 G-작용을 정의하는 것.
• 레마 3.6를 적용하여 평균화 함자가 코너지션에 의한 작용 변화에 대해 불변임을 보이고, 표준 작용으로의 축소를 가능하게 하는 것.
• 고도 작용에 대한 불변성과 플래그 스킴의 구조를 활용하여 !-평균화 함자와 *-평균화 함자 사이의 동형을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G-variety 위의 ℓ-adic 층에 대해 캐릭터 χ:U→G_a 에 대한 평균화 함자가 버드리어 듀얼리티와 교환되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 G가 자기 자신에 대해 고도 작용에 대해 불변인 층에 대해, !-평균화 함자가 *-평균화 함자와 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 χ의 비퇴화성은 관련된 e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}})가 유리적 리처드슨 성질을 가짐을 의미하는가?
• RQ4 드류얼리티 교환 성질을 이용하여 푸리에-델리뉴 변환 커널의 국소적 약화 정리를 재증명할 수 있는가?
• RQ5 !-평균화 함자와 *-평균화 함자 사이의 동형은 임의의 포물형 부분군 P에 대해 성립하는가, 아니면 특정 조건에서만 성립하는가?

주요 결과

• χ가 강하게 비퇴화일 경우, G-variety X 위의 모든 ${\overline{P}}$-equivariant 층에 대해 평균화 함자 Av_{U,χ,!} 는 Av_{U,χ,*} 와 동형이다.
• P가 보럴 부분군일 경우, 모든 ${\overline{U}}$-equivariant 층에 대해 동형이 성립하며, 이는 ${\overline{P}}$-불변성보다 더 약한 조건이다.
• X=G 이고 고도 작용을 고려할 경우, 모든 비퇴화 χ에 대해 Av_{U,χ,!}≅Av_{U,χ,*} 가 성립하며, 이는 B. C. 남고의 추측을 확인한다.
• 캐릭터 χ가 비퇴화임과 관련된 e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}})가 유리적 리처드슨 성질을 가짐은 동치이다.
• 코너지션에 의해 유도된 작용과 레마 3.6를 활용한 기법은 표준 작용으로의 축소를 가능하게 하며, 이를 통해 정리 1.5(2)를 적용하여 동형을 도출할 수 있다.
• 드류얼리티 교환 성질을 이용한 증명 기법은 N. 캅과 G. 라우몬의 푸리에-델리뉴 변환 커널에 대한 국소적 약화 정리를 재증명한다.