[논문 리뷰] Some results for the large time behavior of Hamilton-Jacobi Equations with Caputo Time Derivative

Olivier Ley, Erwin Topp외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Caputo 시간 도함수의 순서 $\alpha \in (0,1)$를 갖는 해밀턴-자코비 방정식의 해에 대한 장기적 행동을 연구한다. Namah-Roquejoffre 프레임워크를 기반으로 하며, 시간에 독립적인 허더 정규성 추정을 확립함으로써 장기 수렴 분석이 가능해진다. $Z$의 기하 조건 하에서 $t \to \infty$일 때 해가 $Z$에서 초기 데이터의 최솟값으로 수렴함을 증명하며, 수렴 속도는 $Z$의 박스 차원 $D$에 따라 달라진다.

ABSTRACT

We obtain some H\\"older regularity estimates for an Hamilton-Jacobi with fractional time derivative of order $\\alpha \\in (0,1)$ cast by a Caputo derivative. The H\\"older seminorms are independent of time, which allows to investigate the large time behavior of the solutions. We focus on the Namah-Roquejoffre setting whose typical example is the Eikonal equation. Contrary to the classical time derivative case $\\alpha=1$, the convergence of the solution on the so-called projected Aubry set, which is an important step to catch the large time behavior, is not straightforward. Indeed, a function with nonpositive Caputo derivative for all time does not necessarily converge; we provide such a counterexample. However, we establish partial results of convergence under some geometrical assumptions.

연구 동기 및 목표

• Caputo 분수 시간 도함수 $\partial_t^\alpha$를 갖는 해밀턴-자코비 방정식의 해에 대한 장기적 행동을 분석하는 것.
• 기본적인 $\alpha=1$ 방정식에 널리 사용되는 Namah-Roquejoffre 프레임워크를 분수 시간 도함수 설정으로 확장하는 것.
• 시간에 독립적인 허더 정규성 추정을 확립하여 장기적 분석을 가능하게 하는 것.
• 해가 $t \to \infty$일 때 초기 데이터의 최솟값으로 수렴하기 위한 $Z$의 기하 조건을 조사하는 것.
• 특히 Eikonal 경우에서 $Z$의 박스 차원 $D$에 따라 수렴 속도를 정량화하는 것.

제안 방법

• 특성 핵함수를 갖는 특이 적분을 통한 Caputo 분수 도함수 $\partial_t^\alpha$의 정의로 고전적 초기 조건과의 호환성을 확보하는 것.
• 이전 연구에서 확립된 비국소적 탈퇴 타입 타원형 연산자에 대한 점성 해 이론 및 비교 원리의 적용.
• 장기적 분석에 핵심적인 시간에 독립적인 허더 반노름 추정의 유도.
• 매개변수 $D$를 갖는 박스 카운팅 조건을 만족하는 $Z$의 $\epsilon$-근접 영역 내의 다각형 경로 $\gamma_\epsilon$의 구성.
• 에너지 바ounds에서의 감쇠율 추정을 위해 Mittag-Leffler 함수 $E_\alpha(-At^\alpha)$의 사용.
• 박스 카운팅 조건에서 유도된 경로 길이 추정과 Mittag-Leffler 함수의 감쇠 추정을 조합하여 수렴 속도 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Caputo 시간 도함수 $\partial_t^\alpha$를 갖는 해밀턴-자코비 방정식의 해가 $t \to \infty$일 때 $Z$에서 초기 데이터의 최솟값으로 수렴하는가?
• RQ2 비음성 Caputo 도함수는 수렴을 보장하지 않기 때문에, 고전적 $\alpha=1$의 경우에 실패하는 경우에도 수렴을 확보할 수 있는가?
• RQ3 분수 시간 도함수 설정에서 해가 $Z$에서 수렴하기 위해 필요한 $Z$의 기하 조건은 무엇인가?
• RQ4 수렴 속도는 $Z$의 분수 차원 $D$에 따라 어떻게 달라지는가? 특히 Eikonal 경우에서의 경우.
• RQ5 에르고딕 상수 $c = -\min f$와 에르고딕 방정식의 해 $v$를 포함하는 전개를 통해 점근적 행동을 묘사할 수 있는가?

주요 결과

• 해 $u$가 Caputo-분수 해밀턴-자코비 방정식을 만족할 때, $Z$가 박스 카운팅 조건 (4.21)을 만족하고 $1 \leq D < \frac{3}{2}$일 경우, 모든 $x \in Z$에 대해 $u(x,t) \to \min_{\mathbb{T}^N} g$ as $t \to \infty$이다.
• 수렴 속도는 $C t^{\alpha \frac{2D-3}{2D-1}}$로 유계이며, $D < \frac{3}{2}$일 때 $t \to \infty$일 때 0으로 수렴함을 보여, 박스 차원이 $3/2$ 미만인 집합에 대해 수렴이 성립함을 시사한다.
• 비음성 Caputo 도함수를 갖는 함수가 항상 수렴하지는 않음을 보여주는 반례를 제시함으로써, 고전적 $\alpha=1$ 경우와의 핵심적 차이점을 부각시킨다.
• Eikonal 경우 ($k=1$)에서는 관련된 상미분 방정식의 명시적 해를 통해 감쇠 인자 $\mathcal{E}(t)$를 정확히 추정할 수 있으며, 이에 기반해 수렴 속도를 도출할 수 있다.
• 점근적 행동는 $u(x,t) + c t^\alpha - v(x) \to 0$로 균일하게 기술되며, 여기서 $c = -\min f$이고 $v$는 에르고딕 방정식 $F(x,Dv) = f(x) + c$의 해이며, $Z$에서 $v = \min g$이다.
• 표준 Namah-Roquejoffre 가정(예: $F(x,\cdot)$의 볼록성, $p \neq 0$일 때 $F(x,p)$의 정strict 양성, $f$의 음이 아닌 성질) 하에서도 결과가 안정함을 보였다.