[논문 리뷰] Some Results on an Affine Obstruction to Reach Control

Melkior Ornik, Mireille E. Broucke|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 10.

Distributed Control Multi-Agent Systems참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 및 3차원 아핀 시스템에서 아핀 피드백을 사용하여 도달 제어 문제(RCP)를 해결하기 위한 필요 조건으로 기하학적 콘 조건을 설정한다. 아핀 피드백이 단순체 내에서 평형점을 피하고 콘 조건을 만족시키는 것이 가능할 조건은, 제어 부분공간과 외부 법선 벡터 간의 특정 기하 구조가 단순체 내부에 영이 아닌 벡터장이 존재할 수 있도록 허용할 경우에 한하여 성립하며, 이는 저차원에서 아핀 차단 문제를 해결한다.

ABSTRACT

This ArXiv paper is a supplement to [7] and contains proofs of preliminary claims omitted in [7] for lack of space. The paper deals with exploring a necessary condition for solvability of the Reach Control Problem (RCP) using affine feedback. The goal of the RCP is to drive the states of an affine control system to a given facet of a simplex without first exiting the simplex through other facets. In analogy to the problem of a topological obstruction to the RCP for continuous state feedback studied in [7], this paper formulates the problem of an affine obstruction and solves it in the case of two- and three-dimensional systems. An appealing geometric cone condition is identified as the new necessary condition.

연구 동기 및 목표

• 아핀 상태 피드백을 사용한 도달 제어 문제(RCP)의 가용성에 대한 필수 조건을 규명하는 것.
• 2차원 및 3차원 시스템에서 RCP에 대한 아핀 차단 문제를 수립하고 해결하는 것.
• 단순체 내 평형점을 피하는 아phin 피드백의 존재에 대한 핵심 기준으로 기하학적 콘 조건을 설정하는 것.
• 기존의 위상적 결과를 보완하는 저차원 사례에서 아핀 피드백 문제의 가용성에 대한 구축적 증명을 제공하는 것.
• 이전 정리에서 다루지 않은 경우를 제외하고, 제어 부분공간이 단순체와 2차원 집합으로 교차하는 3차원에서의 남아있는 열린 케이스를 해결하는 것.

제안 방법

• 아핀 피드백이 다른 면을 통해 나가지 않고 출구 면으로 궤도를 이동시키는 문제로 RCP를 공식화한다.
• 단순체의 각 점 $x$에서 내부를 향하는 콘 $\mathcal{C}(x)$를 정의하여, 이는 단순체 내부에 머무르거나 $\mathcal{F}_0$를 통해 나가는 방향을 나타낸다.
• $\mathcal{O}_{\mathcal{S}} = \mathcal{S} \cap \{x \mid Ax + a \in \mathrm{Im}(B)\}$ 를 아핀 피드백 하에서 유일한 폐쇄형 평형점의 위치로 식별한다.
• 모든 $x \in \mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 에 대해 $f(x) \in \mathcal{C}(x)$ 이고 $f(x) \neq 0$ 인 아핀 사상 $f: \mathcal{O}_{\mathcal{S}} \to \mathrm{Im}(B)$ 가 필요하다.
• 2차원 및 3차원에서 선형 대수학을 사용하여 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 의 꼭짓점에서 콘 조건을 만족하고 일차 독립인 벡터를 할당함으로써 그러한 사상을 구성한다.
• 초기 벡터가 콘 조건을 만족하지 못할 경우를 대비해 $b_1' = b_1 - c b_2$ 와 같은 벡터 조합을 사용한 변형 기법을 적용하여 타당성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 기하 조건을 만족할 경우 아핀 피드백이 단순체 내에서 평형점을 피하고 콘 조건을 만족하는가?
• RQ2 2차원 및 3차원 시스템에서 RCP에 대한 아핀 차단 문제를 구축적으로 해결할 수 있는가?
• RQ3 제어 부분공간 $\mathrm{Im}(B)$ 와 외부 법선 $h_j$ 는 아핀 피드백을 통한 RCP 가용성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 어떻게 체계적으로 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 내에서 어디서도 영이 아닌 콘 조건을 만족하는 아핀 피드백 사상을 구성할 수 있는가?
• RQ5 3차원에서 $\dim \mathcal{O}_{\mathcal{S}} = 2$ 이고 $\dim \mathcal{B} = 2$ 이며, 기존 정리에서 다루지 않은 경우를 제외하고 RCP의 가용성 상태는 어떠한가?

주요 결과

• 제어 부분공간과 외부 법선이 특정 기하 구조를 만족할 경우, 특히 $B$ 의 이미지가 2차원이고 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 가 이전 정리에서 다루지 않은 2차원 집합일 경우, 아핀 피드백이 콘 조건을 만족하고 단순체 내 평형점을 피할 수 있다.
• 논문은 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 의 꼭짓점에 각각 해당 내부를 향하는 콘에 속하고 일차 독립인 벡터를 할당하여 3차원에서 명시적인 아핀 피드백 사상을 구성한다. 이는 비영이 되는 행동을 보장한다.
• 초기 제어 벡터가 콘 조건을 만족하지 못할 경우, $b_1' = b_1 - c b_2$ 와 같은 변형 기법을 사용하여 타당한 피드백을 구성할 수 있으며, 특히 $b_1 \cdot h_1 = 0$ 또는 $b_2 \cdot h_1 = 0$ 인 경우에 유용하다.
• 아핀 사상의 성질과 콘 조건의 볼록성 덕분에 해가 꼭짓점에서 전체 $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 로 확장됨을 증명할 수 있다.
• 논문은 3차원에서 마지막으로 남아 있던 열린 케이스를 해결하며, $\dim \mathcal{O}_{\mathcal{S}} = 2$, $\dim \mathcal{B} = 2$, $v_0 \notin \mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 이며, 정리 15의 조건을 만족하지 않을 경우 아핀 차단 문제의 해가 존재함을 증명한다.
• 핵심 결과는 그러한 피드백의 존재성이 각 점에서 콘 $\mathcal{C}(x)$ 에 속하고 영이 아닌 벡터장이 존재하는 것과 동치라는 것이다. 이는 선형 대수학을 통해 구축적으로 증명된다.