[논문 리뷰] Some results on the reduced power graph of a group

R. Rajkumar, T. Anitha|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 02.

Finite Group Theory Research참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한군 및 토르션 군에 대해 감소된 거듭제곱 그래프와 그 적절한 변형을 조사하며, 클리크 수, 색수, 둘레, 연결성, 지름, 그리고 성분 구조와 같은 그들의 구조적 성질을 특성화한다. 주요 결과로는 유한군의 감소된 거듭제곱 그래프가 완전 그래프임을 보이고, 적절한 감소된 거듭제곱 그래프의 성분 수와 지름이 군의 최대 순환 부분군 중 소수 차수의 것들과 시로우 부분군에 의해 완전히 결정됨을 밝힌다.

ABSTRACT

The reduced power graph $\mathcal{RP}(G)$ of a group $G$ is the graph with vertex set $G$ and two vertices $u$ and $v$ are adjacent if and only if $\left\langle v ight angle \subset \left\langle u ight angle $ or $\left\langle u ight angle \subset \left\langle v ight angle $. The proper reduced power graph $\mathcal{RP}^*(G)$ of $G$ is the subgraph of $\mathcal{RP}(G)$ induced on $G\setminus \{e\}$. In this paper, we classify the finite groups whose reduced power graph (resp. proper reduced power graph) is one of complete $k$-partite, acyclic, triangle free or claw-free (resp. complete $k$-partite, acyclic, triangle free, claw-free, star or tree). In addition, we obtain the clique number and the chromatic number of $\mathcal{RP}(G)$ and $\mathcal{RP}^*(G)$ for any torsion group $G$. Also, for a finite group $G$, we determine the girth of $\mathcal{RP}^*(G)$. Further, we discuss the cut vertices, cut edges and perfectness of these graphs. Then we investigate the connectivity, the independence number and the Hamiltonicity of the reduced power graph (resp. proper reduced power graph) of some class of groups. Finally, we determine the number of components and the diameter of $\mathcal{RP}^*(G)$ for any finite group $G$.

연구 동기 및 목표

• 감소된 거듭제곱 그래프 또는 적절한 감소된 거듭제곱 그래프가 완전 k-분할, 비순환, 삼각형 없음, 클로벌 없는 유한군을 분류하기.
• 모든 토르션 군에 대해 감소된 거듭제곱 그래프의 클리크 수와 색수를 결정하기.
• 특정 군의 종류에 대해 이 그래프의 둘레, 연결성, 독립 수, 해밀턴성 분석하기.
• 모든 유한군에 대해 적절한 감소된 거듭제곱 그래프의 성분 수와 지름을 확립하기.
• 유한군의 감소된 거듭제곱 그래프의 컷 정점, 컷 간선, 완전성 분석하기.

제안 방법

• 논문은 군 G의 감소된 거듭제곱 그래프를 정의하며, 이는 원소들 간에 순환 부분군이 포함 관계에 있을 때, 즉 ⟨u⟩ ⊆ ⟨v⟩ 또는 ⟨v⟩ ⊆ ⟨u⟩ 이면 간선이 존재한다고 한다.
• 적절한 감소된 거듭제곱 그래프는 항등원을 제외한 G\{e} 위의 유도 부분그래프로 정의된다.
• 클리크 수와 색수는 토르션 군의 순환 부분군의 구조와 원소의 차수를 이용해 유도된다.
• RP*(G)의 성분 수는 c(P*(G)) + ∑ₚ|G mₚ(p−2)로 계산되며, 여기서 mₚ는 차수 p인 최대 순환 부분군의 수를 세는 것이다.
• RP(G)의 지름은 G ≅ ℤ₂이면 1이고, 그 외에는 2이며, 이는 항등원이 모든 다른 정점과 인접하기 때문이다. RP*(G)의 지름은 G ≅ ℤₚⁿ 이고 n ≥ 2 이면 2이며, G ≅ ℤₚ 이면 ∞이며, 그 외에는 항상 diam(P*(G))와 같다.
• 부분군 격자와 순환 부분군의 포함 관계를 이용해 비순환성, 클로벌 없음, 완전성 등의 그래프 이론적 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 유한군에 대해 감소된 거듭제곱 그래프가 완전 k-분할, 비순환, 삼각형 없음, 클로벌 없는가?
• RQ2 모든 토르션 군의 감소된 거듭제곱 그래프의 클리크 수와 색수는 무엇인가?
• RQ3 유한군의 적절한 감소된 거듭제곱 그래프의 둘레는 무엇인가?
• RQ4 유한군의 적절한 감소된 거듭제곱 그래프는 몇 개인가? 그리고 그 지름은 무엇인가?
• RQ5 적절한 감소된 거듭제곱 그래프는 언제 연결되어 있고, 언제는 무한 지름을 가진 비연결 상태인가?

주요 결과

• 유한군 G의 적절한 감소된 거듭제곱 그래프는 c(RP*(G)) = c(P*(G)) + ∑ₚ|G mₚ(p−2)개의 성분을 가지며, 여기서 mₚ는 차수 p인 최대 순환 부분군의 수이다.
• RP(G)의 지름은 G ≅ ℤ₂ 이면 1이고, 그 외에는 2이며, 이는 항등원이 모든 다른 정점과 인접하기 때문이다.
• RP*(G)의 지름은 G ≅ ℤₚⁿ 이고 n ≥ 2 이면 2이며, G ≅ ℤₚ (소수 차수) 이면 ∞이며, 그 외에는 항상 diam(P*(G))와 같다.
• 모든 유한군의 감소된 거듭제곱 그래프는 완전이며 사이클이 아니며, RP(G)와 RP*(G)가 클로벌 없고 비순환일 수 있는 것은 특정 군의 구조일 때에만 가능하다.
• 유한군에 대해 RP*(G)는 G가 니르푸트 군이면서 시로우 부분군이 순환 또는 일반화된 퀼러터니언 군이며 G ≇ ℤₚ 이면 연결됨을 보장한다.
• 순서 n인 군의 감소된 거듭제곱 그래프들 중에서 최대 클리크 수와 색수는 ℤₙ에서 달성되며, 적절한 감소된 거듭제곱 그래프는 ℤₙ*에서 최대값을 가진다.