[논문 리뷰] Some semialgebraic sets of states and separability conjectures

Lin Chen, Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 반대칭 집합의 차원 이론을 사용하여 양자 분리 가능성 문제를 해결한다: (M−1)(N−1) > 1인 시스템에서 d개 이하의 순수 제품 상태로의 볼록 분해가 불가능한 분리 가능한 상태의 존재를 증명하고, 분리 가능한 상태와 순수 제품 상태의 혼합물이 원래의 분리 가능한 상태보다 낮은 길이를 가질 수 있음을 보여준다. 또한 실수 불변 상태가 실수 순수 제품 상태의 볼록 조합임을 증명하고, 2×4, 3×3, 2×2×2 시스템에서 분리 가능한 집합의 해석적 특성화를 위한 추측을 제안한다.

ABSTRACT

Many important sets of normalized states in a multipartite quantum system of finite dimension d, such as the set S of all separable states, are real semialgebraic sets. We compute dimensions of many such sets in several low-dimensional systems. By using dimension arguments, we show that there exist separable states which are not convex combinations of d or less pure product states. For instance, such states exist in bipartite M x N systems when (M-1)(N-1)>1. This solves an open problem proposed in [J. Mod. Opt. 47 (2000), 377-385]. We prove that there exist a separable state rho and a pure product state, whose mixture has smaller length than that of rho. We show that any real rho in S, which is invariant under all partial transpose operations, is a convex sum of real pure product states. In the case of the 2 x N system, the number r of product states can be taken to be r=rank(rho). We also show that the general multipartite separability problem can be reduced to the case of real states. Regarding the separability problem, we propose two conjectures describing S as a semialgebraic set, which may eventually lead to an analytic solution in some low-dimensional systems such as 2 x 4, 3 x 3 and 2 x 2 x 2.

연구 동기 및 목표

• 다중편성 양자 시스템에서 모든 분리 가능한 상태가 최대 d개의 순수 제품 상태의 볼록 조합으로 분해될 수 있는지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 낮은 차원의 양자 시스템에서 분리 가능한 상태 집합 S가 실수 반대칭 집합으로서 기하학적 구조를 연구하기 위해.
• 혼합 상태의 길이(분해에 필요한 제품 상태의 최소 수)가 순수 제품 상태와 혼합함으로써 감소할 수 있는지 확인하기 위해.
• 모든 실수 부분 전치 불변 상태가 실수 순수 제품 상태의 볼록 조합임을 증명하기 위해.
• 2×4, 3×3, 2×2×2와 같은 낮은 차원의 시스템에서 분리 가능한 상태를 해석적으로 특성화할 수 있는 추측을 제안하기 위해.

제안 방법

• 유한 차원 양자 시스템에서 분리 가능한 상태 집합 S의 구조를 분석하기 위해 실수 반대칭 집합의 차원 이론을 적용한다.
• 대수기하학 기법을 사용하여 낮은 차원의 시스템(예: M×N, 2×N, 다중편성 시스템)에서 분리 가능한 상태 집합의 차원을 계산한다.
• 볼록 기하학과 표현 이론을 활용하여 부분 전치 연산에 대해 불변인 특정 실수 상태가 실수 순수 제품 상태의 볼록 조합임을 보여준다.
• 일반적인 다중편성 분리 가능성 문제를 실수 밀도 행렬의 경우로 단순화하여 분석을 용이하게 한다.
• 집합 S를 반대칭 집합으로 묘사할 수 있는 두 가지 추측을 제안하여, 낮은 차원에서의 해석적 해법 가능성을 제시한다.
• 순수 제품 상태와의 혼합이 상태 길이에 미치는 영향을 분석하여 길이가 감소할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 M×N 양자 시스템에서 (M−1)(N−1) > 1를 만족하는 분리 가능한 상태 중, 어떤 볼록 분해에서도 d개 이하의 순수 제품 상태로 표현할 수 없는 것이 존재하는가?
• RQ2 어떤 분리 가능한 상태를 순수 제품 상태와 혼합하면 그 길이가 감소할 수 있는가?
• RQ3 모든 부분 전치 연산에 대해 불변인 S 내의 실수 밀도 행렬이 실수 순수 제품 상태의 볼록 조합인가?
• RQ4 일반적인 다중편성 분리 가능성 문제는 실수 상태의 경우로 단순화될 수 있는가?
• RQ5 2×4, 3×3, 2×2×2와 같은 낮은 차원의 시스템에서 분리 가능한 상태 집합 S는 유한 개의 다항식 부등식으로 묘사될 수 있는가? 이를 통해 해석적 특성화가 가능할 수 있는가?

주요 결과

• M×N 이중 시스템에서 (M−1)(N−1) > 1를 만족할 경우, d개 이하의 순수 제품 상태로의 볼록 조합으로 표현할 수 없는 분리 가능한 상태가 존재한다.
• 분리 가능한 상태 ρ와 순수 제품 상태 σ가 존재하여, 어떤 t ∈ (0,1)에 대해 tρ + (1−t)σ의 길이가 ρ보다 작아질 수 있다.
• 모든 부분 전치 연산에 대해 불변인 실수 분리 가능한 상태는 실수 순수 제품 상태의 볼록 조합이다.
• 2×N 시스템에서 실수 분리 가능한 상태 ρ를 분해하기 위해 필요한 실수 순수 제품 상태의 수는 rank(ρ)와 같다.
• 일반적인 다중편성 분리 가능성 문제는 실수 밀도 행렬의 경우로 단순화될 수 있다.
• 논문은 두 가지 추측을 제안하였으며, 이들이 참이라면 분리 가능한 상태 집합 S가 반대칭 집합으로 묘사될 수 있어, 2×4, 3×3, 2×2×2와 같은 낮은 차원의 시스템에서 해석적 해법이 가능해질 수 있다.