[논문 리뷰] Some solvable automaton groups

Laurent Bartholdi, Zoran Šuniḱ|ArXiv.org|2006. 03. 01.

Mathematics and Applications참고 문헌 6인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 루트를 가진 트리 위의 자기유사 구조를 통해 $BS(1,m)$ ($m \neq \pm 1$)와 다양한 램플라이터 군 $L_n = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \wr \mathbb{Z}$가 유한 오ート마타에 의해 자동기 군으로 실현될 수 있음을 보여준다. 이 군들은 $n$-진수 체계와 $n$-adic 정수 위에서의 행렬 곱셈을 기반으로 한 $n$-진수 트리 위에서 작용하는 유한 오ート마타로부터 유도되며, 수준 $k$에서의 작용에 대한 이중 오ート마타와 슈라이어 그래프가 반복된 이중 오ート마타와 동형임을 증명한다.

ABSTRACT

It is shown that certain ascending HNN extensions of free abelian groups of finite rank, as well as various lamplighter groups, can be realized as automaton groups, i.e., can be given a self-similar structure. This includes the solvable Baumslag-Solitar groups BS(1,m), for m not +/-1. In addition, it is shown that, for any relatively prime integers m,n>=2, the pair of Baumslag-Solitar groups BS(1,m) and BS(1,n) can be realized by a pair of dual automata. The examples are then used to illustrate more general connections between Schreier graphs, composition of automata and dual automata.

연구 동기 및 목표

• 해법 가능 Baumslag-Solitar 군 $BS(1,m)$ ($m \neq \pm 1$)가 자동기 군으로 실현될 수 있음을 보이기.
• 램플라이터 군 $L_n = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \wr \mathbb{Z}$와 그 고차원 일반화 $L_{n,d}$가 유한 오차트를 통해 실현될 수 있음을 보여주기.
• 수준-$k$ 작용의 슈라이어 그래프와 이중 오차트의 반복적 곱 사이의 동형관계를 확립하기.
• 명시적 구성 방법을 통해 자동기 군, 슈라이어 그래프, 이중 오차트 간의 관계를 명확히 하기.

제안 방법

• $n$-진수 체계에서 $m$ 곱하기와 덧셈을 구현하는 오차트를 구성하여 $n$-진수 트리 위에서 $BS(1,m)$를 생성하기.
• $D_{n^k,m}$과 $(D_{n,m})^k$ 사이의 표준 동형을 이용하여 $BS(1,n^k)$가 반복된 이중 오차트로부터 유도됨을 보여주기.
• 자동기 $A$가 트리의 수준 $k$에서 작용하는 행동을 그래픽적으로 표현하는 수준 $k$ 슈라이어 오차트 $Sch_k(A)$를 정의하기.
• 상태의 역순을 이용한 $k$-튜플에서의 변환을 통해 $Sch_k(A)$가 이중 오차트 $A'$의 $k$중 곱 $(A')^k$와 동형임을 증명하기.
• $n$-adic 정수 위에서의 행렬 곱셈을 사용하여 $d$-차원의 일반화를 도입하고, $\mathbb{Z}^d$의 상승 HNN 확장이 실현될 수 있음을 보여주기.
• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 위에서의 단항 역행렬 다항식을 사용하여 $L_{n,d} = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d \wr \mathbb{Z}$에 대한 오차트를 구성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해법 가능 Baumslag-Solitar 군 $BS(1,m)$는 $m \neq \pm 1$일 때 자동기 군으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 서로소인 $m,n \geq 2$에 대해, 쌍 $BS(1,m)$과 $BS(1,n)$은 이중 오차트 쌍에 의해 동시에 실현될 수 있는가?
• RQ3 자동기의 수준 $k$ 슈라이어 오차트와 그 이중 오차트의 $k$중 곱 사이에 표준 동형이 존재하는가?
• RQ4 고차원 램플라이터 군 $L_{n,d}$는 $n$-진수 트리 위에서 작용하는 오차트를 통해 구성될 수 있는가?
• RQ5 자동기 작용의 슈라이어 그래프는 자동기 군의 합성과 이중성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• $BS(1,n^k)$는 $G(D_{n^k,m})$, $G((D_{n,m})^k)$, $G(Sch_k(D_{m,n}))$와 동형임을 보여주며, 반복된 이중 오차트와 슈라이어 그래프가 동일한 군을 유도함을 보여준다.
• $D_{n^k,m}$ 오차트는 $(D_{n,m})^k$와 동형이며, 상태는 정수 $0$에서 $n^k - 1$까지의 $k$-자리 $n$-진수 표현과 대응된다.
• 수준 $k$ 슈라이어 오차트 $Sch_k(D_{m,n})$는 $(D_{n,m})^k$와 동형이며, 이중 오차트 곱과 상태 순서가 반전되어 있다.
• $d \geq 1$ 및 행렬 $M$이 차원 $d \times d$, 순서가 무한대이고 행렬식이 $n$과 서로소인 경우, $\mathbb{Z}^d$에 대한 $M$에 의한 상승 HNN 확장은 $n$-adic 행렬 곱셈을 통해 자동기 군으로 실현될 수 있다.
• $L_{n,d} = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d \wr \mathbb{Z}$ 램플라이터 군은 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 위에서의 단항 역행렬 다항식에 대응하는 오차트를 통해 실현될 수 있다.
• $A_{1+t^d}$ 오차트는 $n$-진수 루트 트리 위에서 작용하며 $L_{n,d}$를 실현하지만, 실질적으로 실질적인 Krohn-Rhodes 의미에서 Silva와 Steinberg의 리셋 오차트 구성이 더 단순하다.