[논문 리뷰] Some topological invariants and biorthogonal systems in Banach spaces

Piotr Koszmider|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 19.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 공간에서의 위상적 불변량과 바나흐 공간에서의 이중기저 체계 간의 상호작용을 조사하며, 특히 산개도, 히어레틱 린델뢰프 차수, 반이중기저 수열과 같은 기수 불변량이 $C(K)$와 $X$에서의 이중기저 체계 크기와 어떻게 관련되어 있는지에 중점을 둔다. 주요 기여는 카르테시안 곱 또는 기타 집합론적 가정 하에서 $K$의 산개도가 가산임에도 불구하고 $C(K)$가 비가산 이중기저 체계를 가질 수 있다는 일관성 결과를 보여주는 것이다. 또한 일부 모델에서 $sbiort(X) < s(B_{X^*})$임을 보이며, 표준 ZFC 공리계로부터의 독립성을 입증한다.

ABSTRACT

We consider topological invariants on compact spaces related to the sizes of discrete subspaces (spread), densities of subspaces, Lindelof degree of subspaces, irredundant families of clopen sets and others and look at the following associations between compact topological spaces and Banach spaces: a compact K induces a Banach space C(K) of real valued continuous functions on K with the supremum norm; a Banach space X induces a compact space - the dual ball with the weak* topology. We inquire on how topological invariants on K and the dual ball are linked to the sizes of biorthogonal systems and their versions in C(K) and X respectively. We gather folkloric facts and survey recent results like that of Lopez-Abad and Todorcevic that it is consistent that there is a Banach space X without uncountable biorthogonal systems such that the spread of the dual ball is uncountable or that of Brech and Koszmider that it is consistent that there is a compact space where spread of the square of K ic countable but C(K) has uncountable biorthogonal systems.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 공간 $K$와 $B_{X^*}$에서의 위상적 불변량과 $C(K)$ 및 $X$에서의 이중기저 체계 크기 간의 관계를 조사한다.
• 산개도, 히어레틱 린델뢰프 차수, 비중복성과 같은 불변량이 비가산 바나흐 공간에서의 이중기저 및 거의 이중기저 체계와 어떻게 관련되는지 조사한다.
• 컴팩트 공간 $K$ 또는 $B_{X^*}$에서의 작은 위상적 불변량을 가진 바나흐 공간에서 비가산 이중기저 체계의 일관성에 관한 전통적 및 최근 결과를 조사하고 통합한다.
• 특히 롤레비치 문제의 맥락과 집합론적 모델에서 반이중기저 체계 크기가 다른 불변량과 독립적임을 명확히 한다.

제안 방법

• 컴팩트 하우스도르프 공간 $K$와 바나흐 공간 $X$의 쌍대공간 $X^*$ 사이의 표준적 대칭성을 활용하여 $K$와 $B_{X^*}$의 위상적 성질을 $X$와 $C(K)$의 기하적 성질과 연결한다.
• 순서수를 통한 초한적 구성 기법을 적용하여 $x_eta^*(x_eta) = 1$ 이고 $\theta < \beta$ 이면 $x_eta^*(x_ heta) = 0$ 이 되도록 하는 $X$ 내의 순서쌍 $(x_\beta, x_\beta^*)$의 수열을 구성함으로써 $sbiort(X)$의 하한을 확보한다.
• 리스 표현 정리를 활용하여 $C(K)^*$를 라돈 측도 공간 $M(K)$로 식별함으로써, 이중기저 체계 분석에 측도론적 도구를 적용할 수 있도록 한다.
• weak* 위상에서 $B_{X^*}$에 대해 $U_\beta = \{x^* : x^*(x_\beta) > 1/2\}$ 와 같은 열린 집합을 정의함으로써, 오른쪽 분리된 수열을 증명하고 히어레틱 린델뢰프 차수와 연결한다.
• 쿤엔 공간 및 분할 간격 구성과 같은 집합론적 위상수학의 결과를 적용하여 기대되는 기수 부등식의 반례를 일관되게 생성한다.
• $\varepsilon$-이중기저 및 거의 이중기저 체계를 분석하여, 비가산 바나흐 공간에서 기하학적 구조와 위상적 크기 사이의 격차를 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카르테시안 곱 가정 하에서, 산개도가 가산임에도 불구하고 $X = C(K)$가 비가산 이중기저 체계를 가질 수 있는가?
• RQ2 $C(K)$에서 반이중기저 체계의 크기가 $C(K)$의 밀도보다 엄격히 작을 수 있으며, 이는 롤레비치 문제에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ3 $sbiort(X) < s(B_{X^*})$인 바나흐 공간 $X$가 존재하는가? 이는 $B_{X^*}$가 이중기저 체계 크기를 결정하는 데서 어떤 역할을 하는지 밝힌다.
• RQ4 컴팩트 공간 $K$에 대해 $hL(K)$가 $sbiort_1(C(K))$보다 엄격히 작을 수 있으며, 이는 $C(K)$의 구조에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 $abiort(X) = \omega_1$ 이면서 $sbiort(X) = \omega$일 수 있는가? 이는 거의 이중기저 체계와 반이중기저 체계 사이에 상당한 격차가 존재함을 시사한다.

주요 결과

• CH 하에서 일관되게, $\omega = biort(X) < sbiort(X) = \omega_1 = 2^\omega$ 를 만족하는 바나흐 공간 $X = C(K)$가 존재함을 보여, 반이중기저 체계는 비가산일 수 있지만 이중기저 체계는 아닐 수 있음을 입증한다.
• 일관되게, 산개도가 가산임에도 불구하고 $\omega = biort(C(K)) < sbiort(C(K)) = \omega_2 = 2^\omega$ 를 만족하는 컴팩트 공간 $K$가 존재함을 보여, 이중기저 체계와 반이중기저 체계 사이의 격차가 일부 모델에서 임의로 클 수 있음을 시사한다.
• 비메트릭 컴팩트 공간 $K$가 존재하여 비가산 반이중기저 수열이 없으며, 이는 $sbiort(C(K)) < dens(C(K))$ 를 의미함을 보여, 롤레비치 문제의 ZFC 독립성을 입증한다.
• 일관되게, 짝수 $n \geq 4$ 에 대해 $\omega = sbiort_{n-1}(X) < biort_n(X) = \omega_1$ 이 성립함을 보여, 고차수의 유한지지 반이중기저 체계는 저차수 체계보다 클 수 있음을 나타낸다.
• 일관되게 $sbiort(X) = biort(X) = \omega < abiort(X) = \omega_1$ 이 성립함을 보여, 거의 이중기저 체계는 반이중기저 및 이중기저 체계가 가산임에도 불구하고 비가산일 수 있음을 보여준다.
• 모든 바나흐 공간 $X$에 대해 $hL(B_{X^*}) = dens(X)$ 이며, 이는 $B_{X^*}$의 히어레틱 린델뢰프 차수가 항상 $X$의 밀도 기호와 일치하므로, 이 맥락에서 자명한 불변량임을 보여준다.