[논문 리뷰] Some unbounded functions of intermittent maps for which the central limit theorem holds

Jérôme Dedecker, Clémentine Prieur|ArXiv.org|2007. 12. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 중립 고정점을 가진 간헐적 맵에서 유계가 아닌 함수의 부분합에 대해, 페르로-프로베니우스 연산자의 유도한 의존도 계수를 사용하여 중심극한정리(central limit theorem)를 확립한다. 다항 꼬리를 가지는 단조 증가, 적분 가능한 함수의 클래스에 속하는 함수들에 대해, 표준 √n 스케일링 하에서 정규분포로 수렴함을 증명한다. 이는 함수가 0 근처에서 무한대가 되더라도 성립하며, 기존의 유계 관측자에 대한 결과를 비유계 관측자로 확장한다.

ABSTRACT

We compute some dependence coefficients for the stationary Markov chain whose transition kernel is the Perron-Frobenius operator of an expanding map $T$ of $[0, 1]$ with a neutral fixed point. We use these coefficients to prove a central limit theorem for the partial sums of $f\circ T^i$, when $f$ belongs to a large class of unbounded functions from $[0, 1]$ to ${\mathbb R}$. We also prove other limit theorems and moment inequalities.

연구 동기 및 목표

• 간헐적 동역계에서 중립 고정점을 가진 비유계 관측자에 대해 중심극한정리를 확장하기.
• 기존 이론에서 유계 또는 헬더 연속 함수에 대해서만 중심극한정리가 증명된 점을 보완하기.
• 표준 √n 정규화가 정규분포로 수렴하는 데 적합한 비유계 함수의 클래스를 규명하기.
• 불변 측도 하에서 이러한 함수의 부분합에 대한 모멘트 부등식과 극한정리 수립하기.
• 유계 또는 규칙적인 함수에서 유도된 결과를 중립 고정점에서 특이성을 가진 더 넓은 함수 클래스로 일반화하기.

제안 방법

• 불변 측도 νγ 하에서 거듭제곱 꼬리 분포를 가지는 단조 증가 함수의 유한 선형 조합의 L¹-폐포로 구성된 함수의 클래스 𝒞(M,p,νγ) 정의하기.
• 간헐적 맵 Tγ의 페르로-프로베니우스 연산자 Kγ에 의해 유도된 정상 마르코프 체인의 의존도 계수 계산하기.
• 의존도 구조와 모멘트 한계를 이용해 부분합 Sₙ(f) = ∑ᵢ₌₁ⁿ f∘Tᵢ의 Lq-노름 제어하기.
• Dedecker와 Doukhan(2003) 및 Rio(2000)의 모멘트 부등식을 적용해 정규화된 합의 Lq-노름을 유계하기.
• 모멘트 성장 조건을 검증하고 특성함수 방법을 사용해 정규분포로의 수렴성 입증하기.
• 추가적인 혼합 조건 하에서 경험분포함수의 기능적 중심극한정리 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간헐적 맵에서 중립 고정점을 가진 맵에서 √n 정규화 하에 중심극한정리가 성립하는 비유계 함수의 클래스는 무엇인가?
• RQ2 함수가 중립 고정점에서 무한대가 되는 경우(예: f(x) = x⁻ᵃ)에도 유계성 또는 헬더 연속성 조건 없이 중심극한정리를 확장할 수 있는가?
• RQ3 f의 어떤 모멘트 및 정규성 조건이 정규화된 합 Sₙ(f) − νγ(f)가 정규분포로 수렴함을 보장하는가?
• RQ4 의존도 계수의 감쇠 속도는 중심극한정리에 대해 허용 가능한 비유계 함수의 범위에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 경험과정 √n(Fₙ(t) − Fνγ(t))가 어떤 조건에서 D([0,1])에서 강한 가우시안 과정으로 수렴하는가?

주요 결과

• f ∈ 𝒞(M,p,νγ) 이고 p > (2−2γ)/(1−2γ 이면, 정규화된 합 n⁻¹ᐟ²(Sₙ(f) − νγ(f))는 정규분포로 수렴한다.
• f(x) = x⁻ᵃ 이며 0 < a < 1/2 − γ 이면 결과가 성립하며, 이는 이전 결과를 0에서 특이성을 가진 비유계 함수로 확장한다.
• f가 양수이면서 비증가 함수이며 f(x) ≤ C(1−x)⁻ᵃ 이면, a < (1−2γ)/(2(1−γ)) 이고 q가 적절한 범위에 있을 경우 정규화된 합의 Lq-노름은 O(√n)이다.
• a < 1/2 이고 q가 충분히 크면, Lq-노름은 임의의 ε > 0에 대해 O(n¹⁺ε−(1−γ)(1−aq)/(γq)) 로 증가하며, 이는 하위가우시안 꼬리 행동을 나타낸다.
• γ < 1/3 이고 β₂(k) = O(k⁻²⁻ε 이면, 경험과정 √n(Fₙ,γ(t) − Fνγ(t))는 D([0,1])에서 강한 가우시안 과정으로 수렴한다.
• γ < 1/2 이면 경험과정은 L²(π)에서 가우시안 과정으로 수렴하며, 칸토로비치 거리 d₁(Fₙ,γ, Fνγ)는 √n 스케일링 하에서 ∫₀¹ |Gγ(t)|dt 로 수렴한다.