[논문 리뷰] Some unified integrals associated with Bessel-Struve kernel function

Kottakkaran Sooppy Nisar, Praveen Agarwal외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 31.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 베타-스트루브 커널 함수 $ S_{\beta}(\nu z) $를 포함하는 통합 적분 공식을 유도하며, 이를 일반화된 라이트 함수로 표현한다. 커널의 급수 전개를 활용하고 알려진 적분 항등식을 적용함으로써, 이전의 베셀 및 스트루브 함수 적분을 일반화하는 새로운 폐형 결과를 수립한다. 특수한 경우로는 $ I_0, L_0, I_1, L_1 $에 대한 알려진 항등식이 복원된다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss the generalized integral formula involving Bessel-Struve kernel function $S_{α}\left( λz ight) $, which expressed in terms of generalized Wright functions. Many interesting special cases also obtained in this study.

연구 동기 및 목표

• 베타-스트루브 커널 함수 $ S_{\beta}(\nu z) $를 포함하는 새로운 통합 적분 공식을 유도하기 위해.
• 이러한 적분을 일반화된 라이트 하이퍼기하급수 함수 $ {}_p\Psi_q $의 형태로 표현하기 위해.
• 매개수 $ \beta $의 특정 값으로 선택함으로써, 베셀 및 스트루브 함수에 대한 알려진 적분 공식을 특수한 경우로 복원하기 위해.
• 이전의 베셀 함수에 대한 통합 적분 결과를 더 넓은 범위의 베타-스트루브 함수로 확장하기 위해.

제안 방법

• 베타-스트루브 커널 함수의 멱급수 표현을 사용한다: $ S_{\alpha}(\lambda z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda z)^n \Gamma(\alpha+1) \Gamma((n+1)/2)}{\sqrt{\pi} n! \Gamma(n/2 + \alpha + 1)} $.
• 적분 항등식 $ \int_0^\infty x^{\mu-1} (x+a+\sqrt{x^2+2ax})^{-\lambda} dx = 2^{1-\mu} a^{\mu-\lambda} \frac{\Gamma(2\mu) \Gamma(\lambda - \mu)}{\Gamma(1+\lambda+\mu)} $을 적용한다. 이는 $ 0 < \text{Re}(\mu) < \text{Re}(\lambda) $ 조건에서 성립한다.
• 균일 수렴 조건 하에서 합과 적분의 순서를 바꾸어 일반화된 라이트 함수로 표현된 결과를 도출한다.
• 최종 결과를 일반화된 라이트 함수 $ {}_3\Psi_2 $ 및 $ {}_2\Psi_2 $로 표현하며, 커널의 급수에서 유도된 특정 매개수 조합을 사용한다.
• 예를 들어 $ S_0(z) = I_0(z) + L_0(z) $ 및 $ S_1(z) = (2I_1(z) + L_1(z))/z $와 같은 베타-스트루브 커널과 베셀/스트루브 함수 간의 기존 관계를 활용하여 특수한 경우를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 라이트 함수를 사용하여 베타-스트루브 커널 함수에 대한 통합 적분 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 적분 $ S_{\alpha}(\nu z) $를 포함하는 적분 평가 과정에서 일반화된 라이트 함수는 어떻게 나타나는가?
• RQ3 $ \alpha = 0 $ 또는 $ \alpha = 1 $일 때 유도된 적분 공식의 특수한 경우는 무엇이며, 이는 $ I_0, L_0, I_1, L_1 $의 조합로 어떻게 표현되는가?
• RQ4 결과는 어떻게 기존의 베셀 및 스트루브 함수에 대한 적분 공식을 일반화하는가?

주요 결과

• 적분 $ \int_0^\infty x^{\mu-1} (x+a+\sqrt{x^2+2ax})^{-\lambda} S_{\alpha}(\gamma y / (x+a+\sqrt{x^2+2ax})) dx $는 $ 2^{1-\mu} a^{\mu-\lambda} \frac{\Gamma(\alpha+1) \Gamma(2\mu)}{\sqrt{\pi}} \times {}_3\Psi_2\left[ \cdots \right] $로 평가된다.
• 특수한 경우로 $ \alpha = 0 $일 때, 결과는 $ I_0(y/\cdot) + L_0(y/\cdot) $를 포함하는 적분으로 줄어들며, 특정 매개수를 가진 $ {}_3\Psi_3 $ 형태로 표현된다.
• 특수한 경우로 $ \alpha = 1 $일 때, 결과는 $ 2I_1(y/\cdot) + L_1(y/\cdot) $에 대응하며, $ {}_2\Psi_2 $ 표현식을 얻는다.
• 유도된 공식들은 베타-스트루브 커널 프레임워크를 통해 기존의 베셀 및 스트루브 함수 적분을 통합함으로써 일반화된다.
• 수렴성과 결과의 타당성을 보장하기 위해 $ \text{Re}(\mu) > 0 $, $ \text{Re}(\lambda) > \text{Re}(\mu) $, 그리고 $ x > 0 $ 조건이 필요하다.