[논문 리뷰] Some uniform in bandwidth functional results for the tail uniform empirical and quantile processes

Davit Varron|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 밴드위드스 $ h $ 의 범위에 걸쳐 일관되게 尾부 균일 경험 및 분위수 과정에 대한 기능적 극한 정리들을 수립한다. 조건 $ n h_n / \text{log{log}} n \to \infty $ 이고 $ h_n \to 0 $ 일 때, 이 과정들이 브라운 운동으로 수렴함을 보인다. 주요 기여는 꼬리 영역에서 국소 경험 과정에 대한 밴드위드에 관하여 일관된 기능적 중심극한정리이다.

ABSTRACT

For fixed $t\in [0,1)$ and $h>0$, consider the local uniform empirical process $$\DD_{n,h,t}(s):=n^{-1/2}\coo\sliin 1_{[t,t+hs]}(U_i)-hs\cff,\;s\in [0,1],$$ where the $U_i$ are independent and uniformly distributed on $[0,1]$. We investigate the functional limit behaviour of $\DD_{n,h,t}$ uniformly in $\wth_n\le h\le h_n$ when $n\wth_n/\log\log n ar \infty$ and $h_n ar 0$.

연구 동기 및 목표

• 고정된 $ t \in [0,1) $ 에 대해 꼬리 영역에서 국소 균일 경험 과정 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 의 점근적 행동을 연구하기 위해.
• $ n \to \infty $ 일 때 수축하는 밴드위드 범위 $ h \in [\mathfrak{h}_n, h_n] $ 에 대해 약한 수렴 결과를 일관되게 확립하기 위해.
• 샘플 크기 대비 밴드위드가 천천히 감소할 때 꼬리 경험 및 분위수 과정에 대한 기능적 극한 정리를 도출하기 위해.
• 특히 꼬리 영역에서, 밴드위드가 변화하는 범위에 걸쳐 일관되게 적용 가능한 기존의 기능적 극한 이론을 확장하기 위해.
• 랜덤 밴드위드를 가진 국소 경험 과정을 포함하는 비모수 통계에서의 추론을 위한 이론적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 모든 $ s \in [0,1] $ 에 대해 $ \mathcal{D}_{n,h,t}(s) = n^{-1/2} \left( \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{[t,t+hs]}(U_i) - hs \right) $ 로 국소 균일 경험 과정을 정의한다. 여기서 $ U_i \sim \text{Uniform}[0,1] $ 이다.
• asymptotic 체제에서 $ \mathfrak{h}_n \leq h \leq h_n $, $ h_n \to 0 $, 그리고 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ 라는 조건을 분석한다.
• 강한 근사 기법과 기능적 중심극한정리의 추론을 사용하여 약한 수렴 결과를 도출한다.
• 밴드위드 범위 $ [\mathfrak{h}_n, h_n] $ 에서 과정의 진동을 제어함으로써 밴드위드에 관하여 일관성을 확립한다.
• 최대부등식과 엔트로피 방법을 적용하여 밴드위드 범위 전체에서 과정의 Supremum 를 제어한다.
• 제시된 $ h_n $ 의 성장 조건 하에서, 극한 과정이 표준 브라운 운동임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밴드위드 $ h $ 가 수축하는 간격 $ [\mathfrak{h}_n, h_n] $ 에 걸쳐 일관되게 변할 때, 국소 균일 경험 과정 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 의 기능적 극한 행동은 어떠한가?
• RQ2 조건 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ 하에서 $ n \to \infty $ 일 때, $ h $ 에 관하여 일관되게 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 의 수렴 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 밴드위드의 범위에 걸쳐 일관되게 성립하는 기능적 중심극한정리를 꼬리 경험 과정에 적용할 수 있는가?
• RQ4 밴드위드가 느리게 감소할 때, 꼬리 영역에서 국소 경험 과정의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ5 어떤 조건에서 과정 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 가 $ h $ 에 관하여 일관되게 브라운 운동으로 약한 수렴하는가?

주요 결과

• 조건 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ 과 $ h_n \to 0 $ 를 만족할 때, 국소 경험 과정 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 는 $ h \in [\mathfrak{h}_n, h_n] $ 에 대해 일관되게 표준 브라운 운동으로 약한 수렴한다.
• 이 수렴은 밴드위드 범위 전체에 걸쳐 일관되므로, 변화하는 스무딩 파라미터를 가진 비모수 통계에서 강건한 추론이 가능하다.
• 결과는 고정된 $ t \in [0,1) $ 에 대해 성립하므로, 균일 분포의 상단 근처 꼬리 행동이 브라운 운동으로 잘 근사됨을 의미한다.
• 성장 조건 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ 는 기능적 중심극한정리가 성립하기 위해 충분한 局소 표본 크기를 확보한다는 의미에서 날카로운 조건이다.
• 기능적 극한 정리는 $ [0,1] $ 에서 연속 함수의 공간에서 성립하며, 균일 노름 하에서 분포 수렴이 성립한다.
• 역 확률적 적분 변환을 통해 분위수 과정으로의 분석 확장이 가능하여, 꼬리 분위수 과정에 대해서도 유사한 밴드위드에 관하여 일관된 결과가 도출된다.